【AP Calculus】BC核心定理汇总表

定理全称（English）	简写	核心公式/结论（含关键条件，适配AP答题）
Intermediate Value Theorem	IVT（介值定理）	条件：f(x) continuous on [a,b]； 结论：f(x) takes all values between f(a) and f(b)（用途：证明零点、方程有解）
Extreme Value Theorem	EVT（极值定理）	条件：f(x) continuous on [a,b]； 结论：f(x) has absolute max and min on [a,b]
Squeeze Theorem	无通用简写（夹逼定理）	若$g(x)\le f(x)\le h(x)$，且$\lim{x\to a}g(x)=\lim{x\to a}h(x)=L$，则$\lim_{x\to a}f(x)=L$（用途：复杂极限、数列极限）
Rolle’s Theorem	无（罗尔定理）	条件：1. continuous on $[a,b]$； 2. differentiable on $(a,b)$； 3. $f(a)=f(b)$； 结论：$\exists c\in(a,b)$，$f’(c)=0$
Mean Value Theorem	MVT（微分中值定理）	条件：1. continuous on $[a,b]$； 2. differentiable on $(a,b)$； 结论：$\exists c\in(a,b)$，$f’(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
Fundamental Theorem of Calculus	FTC（微积分基本定理）	Part 1：$\frac{d}{dx}\int{a}^{u(x)} f(t)dt = f(u(x))\cdot u’(x)$； Part 2：$\int{a}^{b} f(x)dx = F(b)-F(a)$（$F’(x)=f(x)$）
Integral Mean Value Theorem	IMVT（积分中值定理）	条件：$f(x)$ continuous on $[a,b]$； 结论：$\exists c\in[a,b]$，$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)dx$
Ratio Test	无（比值判别法）	$L=\lim{n\to\infty}\left \vert \frac{a{n+1}}{a_n}\right \vert $； $L\lt 1$绝对收敛，$L \gt 1$发散，$L=1$判别失效（幂级数必考）
Alternating Series Test	AST（交错级数判别法）	级数$\sum (-1)^n bn$（$b_n \gt 0$）； 条件：1. $b_n$递减；2. $\lim{n\to\infty}b_n=0$； 结论：级数收敛
Lagrange Error Bound	LEB（拉格朗日误差界）	$P_n(x)$为n阶泰勒多项式（中心$a$）； $ \vert Error \vert=\vert R_n(x) \vert \le \frac{M}{(n+1)!} \cdot \vert x-a \vert ^{n+1}$（$M$为$\vert f^{(n+1)}(x) \vert $的最大值）
Alternating Series Estimation Theorem	ASET（交错级数误差估计定理）	满足AST条件的交错级数； $\vert S-Sn\vert \le b{n+1}$（$S$为精确和，$Sn$为前n项和，$b{n+1}$为第一个未求和项的绝对值）
Monotonicity Criterion（单调性判定）	无	$f’(x) \gt 0\Rightarrow f(x)$递增； $f’(x) \lt 0\Rightarrow f(x)$递减（定理级考点）
Concavity \& Inflection Point（凹凸性与拐点）	无	$f’’(x) \gt 0\Rightarrow$ 上凹(concave up)； $f’’(x) \lt 0 \Rightarrow$下凹(concave down)； 拐点：$f’’(x)$变号的点