一、学习目标
学完本章后，你应该能够：
- 理解并运用模函数（modulus function）
- 理解映射（mappings）与函数（functions）
- 组合两个或多个函数得到复合函数（composite function）
- 掌握求反函数的图解法和代数法
- 绘制 $y=|f(x)|$ 和 $y=f(|x|)$ 的图像
- 对同一条曲线应用多种变换的组合
- 对模函数进行变换
二、知识点精讲
2.1 模函数（Modulus Function）
定义： 模函数 $y=|f(x)|$ 表示 $f(x)$ 的绝对值。
💡 核心性质： 模函数的输出始终非负！
📌 例1： 求 $|5x-2| = -\frac{1}{4}x+8$ 的解。
解：
方法一：代数法
当 $5x-2 \geq 0$，即 $x \geq \frac{2}{5}$ 时：
验证：$\frac{40}{21} \geq \frac{2}{5}$，成立 ✓
当 $5x-2 < 0$，即 $x < \frac{2}{5}$ 时：
验证：$-\frac{24}{19} < \frac{2}{5}$，成立 ✓
答案： $x = \frac{40}{21}$ 或 $x = -\frac{24}{19}$
方法二：图像法（图形交点法）
步骤：
分别画出两个函数的图像
- $y = |5x-2|$：先画 $y = 5x-2$，然后在 $x$-轴下方（即 $x < \frac25$）的部分关于 $x$-轴反射上去，得到 V 形图。
- $y = -\frac14 x + 8$：一条斜率为负的直线，过 ((0,8)$ 和 ((32,0)$。
分析交点个数
- 由于 V 形图开口向上，直线斜率为负且截距为正，它们可能会有两个交点（如本题），也可能一个或零个，取决于直线位置。
利用图像可知交点存在于两个区域
- 右支：$x \ge \frac25$，此时 $|5x-2| = 5x-2$，令 $5x-2 = -\frac14 x + 8$，解得 $x = \frac{40}{21}$（与代数法一致）。
- 左支：$x < \frac25$，此时 $|5x-2| = -(5x-2) = -5x+2$，令 $-5x+2 = -\frac14 x + 8$，解得 $x = -\frac{24}{19}$。
验证交点坐标是否满足定义域，两者均符合，因此解为
为何要掌握图像法？
- 当题目要求“求参数范围”或“判断解的个数”时，图像法更为直观且高效。
- 例如，若直线 $y = -\frac14 x + k$ 与 V 形图恰有两个交点，就需利用图像确定 $k$ 的临界值。
- 在考试中，图像法也常作为解题依据，尤其是作图题（如 P3 第 2 章第 1 题）。
2.2 绘制 $y=|ax+b|$ 的图像
步骤： 先画 $y=ax+b$，然后将x轴下方的部分关于x轴反射到上方。
📌 例2： 在同一坐标系中画出 $y=2-x$ 和 $y=2|x+1|$ 的图像，并求 $2-x=2|x+1|$ 的解。
解：
画图步骤：
- $y=2-x$：一条过 $(0,2)$、$(2,0)$ 的直线
- $y=2|x+1|$：先画 $y=2(x+1)=2x+2$，将x轴以下部分反射
求交点：
当 $x+1 \geq 0$，即 $x \geq -1$：
当 $x+1 < 0$，即 $x < -1$：
答案： $x=0$ 或 $x=-4$
2.3 映射与函数
2.3.1 映射的类型
| 类型 | 定义 | 是否为函数 |
|---|---|---|
| 一一映射（one-to-one） | 每个输入对应唯一输出，且不同输入对应不同输出 | ✅ 是 |
| 多对一映射（many-to-one） | 多个输入对应同一个输出 | ✅ 是 |
| 一对多映射（one-to-many） | 一个输入对应多个输出 | ❌ 否 |
💡 函数判定准则： 每个输入必须有且仅有一个输出。
2.3.2 复合函数（Composite Function）
定义： $fg(x)$ 表示先应用 $g$，再应用 $f$。
⚠️ 注意顺序： $fg(x) \neq gf(x)$（一般情况）！
📌 例3： 已知 $p(x)=x^2+3x-4$，$q(x)=2x+1$，求 $pq(x)$ 并解 $pq(x)=qq(x)$。
解：
解 $pq(x)=qq(x)$：
2.4 反函数（Inverse Function）
2.4.1 反函数的存在条件
只有一一映射（one-to-one）才有反函数！
2.4.2 反函数的性质
- $ff^{-1}(x) = x$ 且 $f^{-1}f(x) = x$
- $y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称
- $f(x)$ 的定义域 = $f^{-1}(x)$ 的值域
- $f(x)$ 的值域 = $f^{-1}(x)$ 的定义域
💡 求反函数的步骤：
- 将 $y=f(x)$ 中的 $x$ 和 $y$ 互换
- 解出 $y$
- 确定反函数的定义域（即原函数的值域）
📌 例4： 已知 $f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$，$x \in \mathbb{R}, x>1$，求 $f^{-1}(x)$。
解：
令 $y=\frac{2x+3}{x-1}$，互换 $x$ 和 $y$：
解出 $y$：
所以 $f^{-1}(x) = \frac{x+3}{x-2}$，定义域为 $x \neq 2$。
由于原函数 $f(x)$ 的定义域为 $x>1$，其值域为 $f(x)>2$，因此反函数的定义域为 $x>2$。
2.5 模函数图像的绘制
2.5.1 $y=|f(x)|$ 的图像
步骤：
- 画出 $y=f(x)$ 的图像
- 将 $f(x)<0$（x轴下方）的部分关于x轴反射
- 删除x轴下方的部分
📌 例5： 已知 $f(x)=|kx-9|-2$，$k$ 为正数，求其顶点坐标。
解：
$|kx-9|-2$ 的图像是 $y=|kx-9|$ 向下平移2个单位。
$y=|kx-9|$ 的顶点在 $kx-9=0$ 处，即 $x=\frac{9}{k}$，此时 $y=0$。
因此 $f(x)=|kx-9|-2$ 的顶点在：
2.5.2 $y=f(|x|)$ 的图像
步骤：
- 画出 $y=f(x)$ 在 $x \geq 0$ 的部分
- 将这部分关于y轴反射到左侧
2.6 图像变换总结
| 变换 | 表达式 | 效果 |
|---|---|---|
| 水平平移 | $f(x+a)$ | 向左平移 $a$ 个单位 |
| 垂直平移 | $f(x)+a$ | 向上平移 $a$ 个单位 |
| 水平伸缩 | $f(ax)$ | 水平方向伸缩，比例因子 $\frac{1}{a}$ |
| 垂直伸缩 | $af(x)$ | 垂直方向伸缩，比例因子 $a$ |
| 关于y轴反射 | $f(-x)$ | 关于y轴对称 |
| 关于x轴反射 | $-f(x)$ | 关于x轴对称 |
⚠️ 常见陷阱： $f(x+a)$ 是向左平移（不是向右）！$f(ax)$ 是水平伸缩比例因子 $\frac{1}{a}$（不是 $a$）！
三、课堂练习
1. 解方程 $|2x-11| = \frac{1}{2}x+k$，已知该方程恰有两个不同解，求 $k$ 的取值范围。
2. 已知 $f(x)=\begin{cases}-x, & x \leq 1 \ x-2, & x>1\end{cases}$，画出 $-2 \leq x \leq 6$ 上的图像，并求 $f(x)=-\frac{1}{2}$ 的解。
3. 求 $f(x)=x^2+6x-4$，$x \in \mathbb{R}, x>a$ 的反函数存在时 $a$ 的最小值。
四、课后作业（选自章节测试）
在同一坐标系中画出 $y=2-x$ 和 $y=2|x+1|$ 的图像，并求 $2-x=2|x+1|$ 的解
方程 $|2x-11|=\frac{1}{2}x+k$ 恰有两个不同解，求 $k$ 的取值范围
解 $|5x-2|=-\frac{1}{4}x+8$
画出 $y=|12-5x|$ 和 $y=-2x+3$ 的图像，并判断 $|12-5x|=-2x+3$ 是否有解
已知 $f(x)=\begin{cases}-x, & x \leq 1 \ x-2, & x>1\end{cases}$，画出 $-2 \leq x \leq 6$ 上的图像，求 $f(x)=-\frac{1}{2}$ 的解
已知 $p(x)=x^2+3x-4$，$q(x)=2x+1$，求 $pq(x)$，并解 $pq(x)=qq(x)$
已知 $g(x)=2x+7$，$x \in \mathbb{R}, x \geq 0$，画出 $y=g(x)$，求值域和 $g^{-1}(x)$
已知 $f(x)=\frac{2x+3}{x-1}$，$x \in \mathbb{R}, x>1$，求 $f^{-1}(x)$ 及其定义域和值域
已知 $f(x)=x^2+6x-4$，$x \in \mathbb{R}, x>a$，求 $f^{-1}$ 存在时 $a$ 的最小值
已知 $f(x)=\frac{x}{x^2-1}-\frac{1}{x+1}$，$x>1$，求证 $f(x)=\frac{1}{(x-1)(x+1)}$，并求其值域
