一、空间曲线

1.1 参数方程及其切线和法平面

设空间曲线$\gamma$的参数方程为

$\left\{\begin{matrix} x=\phi(t) & \\ y=\psi(t) & ,t\in[\alpha ,\beta ]\\ z=\omega(t) & \\ \end{matrix}\right.$

假定上式中的三个函数在$[\alpha,\beta]$上均可导，且三个导函数不全为零，则曲线$\gamma$上一点$M_0(x_0,y_0,z_0)$的切线方程为：

$\frac{x-x_0}{ {\phi}'(t_0)} =\frac{y-y_0}{ {\psi}'(t_0)}=\frac{z-z_0}{ {\omega}'(t_0)}$

法平面方程为：

${\phi}'(t_0)(x-x_0)+{\psi}'(t_0)(y-y_0)+{\omega}'(t_0)(z-z_0)=0$

2.2 平面方程组

设空间曲线$\gamma$的方程为：

$\left\{\begin{matrix} F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0 \end{matrix}\right.$

曲线$\gamma$上有一点$M_0(x_0,y_0,z_0)$，假设F，G对各个变量具有连续偏导数，且

$\frac{\partial (F,G)}{\partial (x,y)} |_{M_0} \neq 0$

则过$M_0$点的切向量为

$\overrightarrow{T_1}=\left ( \begin{vmatrix} F_y & F_z\\ G_y & G_z \end{vmatrix}_{M_0} ,\begin{vmatrix} F_z & F_x\\ G_z & G_x \end{vmatrix}_{M_0} ,\begin{vmatrix} F_x & F_y\\ G_x & G_y \end{vmatrix}_{M_0} \right )$

则切线方程为：

$\frac{x-x_0}{\begin{vmatrix} F_y & F_z\\ G_y & G_z \end{vmatrix}_{M_0}} =\frac{y-y_0}{\begin{vmatrix} F_z & F_x\\ G_z & G_x \end{vmatrix}_{M_0}} =\frac{z-z_0}{\begin{vmatrix} F_x & F_y\\ G_x & G_y \end{vmatrix}_{M_0} }$

在$M_0$点的法平面方程为：

$\begin{vmatrix} F_y & F_z\\ G_y & G_z \end{vmatrix}_{M_0}(x-x_0) +\begin{vmatrix} F_z & F_x\\ G_z & G_x \end{vmatrix}_{M_0}(y-y_0)+\begin{vmatrix} F_x & F_y\\ G_x & G_y \end{vmatrix}_{M_0}(z-z_0)=0$