一、莱布尼茨公式

$\int_{a}^{b} f(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)$

二、区间再现公式

$\int_{a}^{b} f(x)dx=\int_{a}^{b} f(a+b-x)dx=\frac{1}{2}\int_{a}^{b} [f(x)+f(a+b-x)]dx$

三、奇偶对称公式（偶倍奇零）

$\int_{-a}^{a} f(x)dx=\int_{0}^{a} [f(x)+f(-x)]dx=\begin{cases} 0 & \text{ if } f(x)是奇函数 \\ 2\int_{0}^{a} f(x)dx & \text{ if } f(x)是偶函数 \end{cases}$

四、周期公式

假设$f(x)$的周期为T，则

$\int_{a}^{a+nT} f(x)dx=n\int_{0}^{T} f(x)dx$

五、点火公式（华里氏公式）

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \sin^nxdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \cos^nxdx=\begin{cases} \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \dots \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} & \text{ n为正偶数 } \\ \frac{n-1}{n}\cdot \frac{n-3}{n-2}\cdot \dots \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} & \text{ n为大于1的正奇数 } \end{cases}$

另外一种表示形式：

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \sin^nxdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2} } \cos^nxdx=F_n \cdot H_n$

其中，

$F_n=\frac{(n-1)!!}{n!!} \\ H_n=\begin{cases} 1 & \text{ n为大于1的正奇数 } \\ \frac{\pi}{2} & \text{ n为正偶数 } \end{cases}$