【AP Calculus】无穷级数审敛法总结及真题解析

0. 级数的基本概念

知识点

• 级数：无穷数列的和，记作 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$。
• 收敛：如果级数的部分和数列收敛，则级数收敛。
• 发散：如果级数的部分和数列发散，则级数发散。

例题 (2015年真题)

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$ 是否收敛。

解答：

1. 使用部分分式分解： $$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$
2. 部分和为： $$S_N = \sum_{n=1}^{N} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{N+1}$$
3. 当 $N \to \infty$ 时，$S_N \to 1$，因此级数收敛。

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1. 级数收敛的必要条件

考点

• 必要条件：若级数 $\sum{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，则 $\lim{n \to \infty} a_n = 0$。
• 逆否命题：若 $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$，则级数发散。

注意

该条件是必要的但不充分，即 $\lim{n \to \infty} a_n = 0$ 不能保证级数收敛（例如调和级数 $\sum \frac{1}{n}$ 发散，但 $\lim{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$）。

例题 (2013年)

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2 + 1}{2n^2 + 3}$ 是否收敛。

解答：

1. 计算通项的极限： $$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{2n^2 + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{3}{n^2}} = \frac{1}{2} \neq 0$$
2. 根据必要条件，若 $\lim_{n \to \infty} a_n \neq 0$，级数发散。因此该级数发散。

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2. 几何级数

知识点

• 几何级数：形如 $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ 的级数。
• 收敛条件：当 $|r| < 1$ 时，级数收敛，且和为 $\frac{a}{1 - r}$。

例题 (2018年真题)

判断级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{3^n}$ 是否收敛，并求其和。

解答：

1. 几何级数的公比 $r = \frac{1}{3}$，满足 $|r| < 1$，因此级数收敛。
2. 和为： $$S = \frac{2}{1 - \frac{1}{3}} = 3$$

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3. p-级数

知识点

• p-级数：形如 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 的级数。
• 收敛条件：当 $p > 1$ 时，级数收敛；当 $p \leq 1$ 时，级数发散。

例题 (2019年真题)

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ 是否收敛。

解答：

1. 这是一个 p-级数，$p = \frac{3}{2} > 1$，因此级数收敛。

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4. 比较审敛法

4.1 基本形式

考点

• 若 $0 \leq a_n \leq b_n$ 对所有 $n$ 成立：
  • 若 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛。
  • 若 $\sum a_n$ 发散，则 $\sum b_n$ 发散。

例题 (2020年真题)

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 1}$ 是否收敛。

解答：

1. 比较级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，这是一个 p-级数，$p = 2 > 1$，因此收敛。
2. 由于 $\frac{1}{n^2 + 1} < \frac{1}{n^2}$，根据比较审敛法，原级数收敛。

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4.2 极限形式

考点

• 若 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$：
  • 若 $0 < L < \infty$，则 $\sum a_n$ 与 $\sum b_n$ 同敛散。
  • 若 $L = 0$ 且 $\sum b_n$ 收敛，则 $\sum a_n$ 收敛。
  • 若 $L = \infty$ 且 $\sum b_n$ 发散，则 $\sum a_n$ 发散。

例题 (2015年)

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 3n}$ 是否收敛。

解答：

1. 选择比较级数 $\sum \frac{1}{n^2}$（已知收敛的 p-级数）。
2. 计算极限： $$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2 + 3n}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 3n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{3}{n}} = 1$$
3. 因 $0 < L = 1 < \infty$，且 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，故原级数收敛。

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5. 比值审敛法

知识点

• 比值审敛法：计算极限 $\lim{n \to \infty} \left| \frac{a{n+1}}{a_n}\right|$：
  • 如果极限小于 1，级数收敛。
  • 如果极限大于 1，级数发散。
  • 如果极限等于 1，无法判断。

例题 (2017年真题)

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$ 是否收敛。

解答：

1. 计算极限： $$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e} < 1$$
2. 因此，级数收敛。

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6. 根值审敛法

知识点

• 根值审敛法：计算极限 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$：
  • 如果极限小于 1，级数收敛。
  • 如果极限大于 1，级数发散。
  • 如果极限等于 1，无法判断。

例题 (2021年真题)

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$ 是否收敛。

解答：

1. 计算极限： $$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2} < 1$$
2. 因此，级数收敛。

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7. 积分审敛法

知识点

• 积分审敛法：如果函数 $f(n) = an$ 是正、连续且单调递减的，则级数 $\sum a_n$ 与积分 $\int{1}^{\infty} f(x) dx$ 同敛散。

例题 (2016年真题)

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ 是否收敛。

解答：

1. 考虑积分： $$\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \ln x} \, dx = \ln(\ln x) \Big|_{2}^{\infty} = \infty$$
2. 因此，级数发散。

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8. 交错级数审敛法

知识点

• 交错级数：形如 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n$ 的级数。
• 审敛条件：如果 $an$ 单调递减且 $\lim{n \to \infty} a_n = 0$，则级数收敛。

例题 (2022年真题)

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n}}$ 是否收敛。

解答：

1. $an = \frac{1}{\sqrt{n}}$ 单调递减且 $\lim{n \to \infty} a_n = 0$。
2. 因此，级数收敛。

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9. 绝对收敛与条件收敛

考点

• 绝对收敛：如果 $\sum |a_n|$ 收敛，则 $\sum a_n$ 绝对收敛。
• 条件收敛：如果 $\sum a_n$ 收敛，但 $\sum |a_n|$ 发散，则 $\sum a_n$ 条件收敛。

例题1 (2014年)

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n}$ 是否绝对收敛或条件收敛。

解答：

1. 判断 $\sum |a_n| = \sum \frac{1}{n}$ 是否收敛：
   • 这是一个 p-级数，$p = 1 \leq 1$，因此 $\sum \frac{1}{n}$ 发散。
2. 判断 $\sum (-1)^n \frac{1}{n}$ 是否收敛：
   • 这是一个交错级数，$an = \frac{1}{n}$ 单调递减且 $\lim{n \to \infty} a_n = 0$。
   • 根据交错级数审敛法，级数收敛。
3. 结论：级数 $\sum (-1)^n \frac{1}{n}$ 条件收敛。

例题2 (2017年)

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n^2}$ 是否绝对收敛或条件收敛。

解答：

1. 判断 $\sum |a_n| = \sum \frac{1}{n^2}$ 是否收敛：
   • 这是一个 p-级数，$p = 2 > 1$，因此 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛。
2. 判断 $\sum (-1)^n \frac{1}{n^2}$ 是否收敛：
   • 因为 $\sum |a_n|$ 收敛，所以 $\sum (-1)^n \frac{1}{n^2}$ 绝对收敛。
3. 结论：级数 $\sum (-1)^n \frac{1}{n^2}$ 绝对收敛。

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10. 真题解析

例题1 (2014年真题)

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$ 是否收敛。

解答：

1. 使用比值审敛法： $$\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2}{2n^2} = \frac{1}{2} < 1$$
2. 因此，级数收敛。

例题2 (2015年真题)

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n}}{n^2 + 5}$ 是否收敛。

解答：

1. 选择比较级数 $\sum \frac{\sqrt{n}}{n^2} = \sum \frac{1}{n^{3/2}}$（p-级数，$p=3/2 >1$，收敛）。
2. 计算极限： $$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{n}}{n^2 + 5}}{\frac{1}{n^{3/2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{n^2 + 5} = 1$$
3. 因 $0 < L = 1 < \infty$，且 $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ 收敛，故原级数收敛。

例题3 (2019年真题)

判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3 + n}$ 是否收敛。

解答：

1. 比较级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$，这是一个 p-级数，$p = 3 > 1$，因此收敛。
2. 由于 $\frac{1}{n^3 + n} < \frac{1}{n^3}$，根据比较审敛法，原级数收敛。

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💡 小贴士：

• 熟练掌握各种审敛法，尤其是比值审敛法和比较审敛法。
• 多做真题练习，熟悉考试题型和解题思路。

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通过以上总结和真题解析，学生可以更好地复习级数审敛法则，并在考试中取得优异成绩！