【AP Calculus】积分及其应用总结及真题解析

目录

1. 基本积分方法
   • 幂函数与指数函数积分
   • 三角函数积分
   • 换元积分法
   • 分部积分法
   • 部分分式分解
2. 定积分的应用
   • 平面图形面积
   • 旋转体体积
   • 弧长计算
   • 积分求平均值
3. 反常积分
4. 微分方程与积分
5. 物理应用
6. 真题解析

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1. 基本积分方法

1.1 幂函数与指数函数积分

公式

• $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$
• $\int e^x \, dx = e^x + C$

例题 (2018年)

求 $\int (3x^2 + 2e^x) \, dx$。

解答：

$$\int (3x^2 + 2e^x) \, dx = x^3 + 2e^x + C$$

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1.2 三角函数积分

公式

• $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
• $\int \cos x \, dx = \sin x + C$

例题 (2019年)

求 $\int (\sin x + \cos x) \, dx$。

解答：

$$\int (\sin x + \cos x) \, dx = -\cos x + \sin x + C$$

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1.3 换元积分法

方法

若 $u = g(x)$，则 $\int f(g(x))g’(x) \, dx = \int f(u) \, du$。

例题 (2021年)

求 $\int 2x \cos(x^2) \, dx$。

解答：

1. 令 $u = x^2$，则 $du = 2x \, dx$。
2. 积分变为： $$\int \cos u \, du = \sin u + C = \sin(x^2) + C$$

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1.4 分部积分法

公式

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

例题 (2017年)

求 $\int x e^x \, dx$。

解答：

1. 令 $u = x$, $dv = e^x \, dx$，则 $du = dx$, $v = e^x$。
2. 代入公式： $$\int x e^x \, dx = x e^x - \int e^x \, dx = x e^x - e^x + C$$

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1.5 部分分式分解

方法

将有理函数分解为简单分式之和后积分。

例题 (2020年)

求 $\int \frac{2x + 1}{x^2 + x - 6} \, dx$。

解答：

1. 因式分解分母：$x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$。
2. 设 $\frac{2x + 1}{(x + 3)(x - 2)} = \frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 2}$。
3. 解得 $A = 1$, $B = 1$。
4. 积分： $$\int \left( \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 2} \right) dx = \ln|x + 3| + \ln|x - 2| + C$$

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2. 定积分的应用

2.1 平面图形面积

公式

• 曲线 $y = f(x)$ 与 $y = g(x)$ 之间的面积： $$\text{面积} = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$$

例题 (2016年)

求曲线 $y = x^2$ 和 $y = 2x$ 围成的面积。

解答：

1. 交点：$x^2 = 2x \Rightarrow x = 0, 2$。
2. 面积： $$\int_0^2 (2x - x^2) \, dx = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$

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2.2 旋转体体积

公式（圆盘法）

绕 x 轴旋转的体积：

$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$$

例题 (2019年)

求 $y = \sqrt{x}$ 在 $x = 0$ 到 $x = 4$ 绕 x 轴旋转的体积。

解答：

$$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = 8\pi$$

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2.3 弧长计算

公式

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2} \, dx$$

例题 (2021年)

求曲线 $y = \frac{2}{3}x^{3/2}$ 从 $x = 0$ 到 $x = 3$ 的弧长。

解答：

1. $f’(x) = x^{1/2}$。
2. 弧长： $$L = \int_0^3 \sqrt{1 + x} \, dx = \left[ \frac{2}{3}(1 + x)^{3/2} \right]_0^3 = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}$$

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3. 反常积分

公式

$$\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$$

例题 (2018年)

判断 $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx$ 是否收敛。

解答：

$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^b = \lim_{b \to \infty} \left( -\frac{1}{b} + 1 \right) = 1$$

收敛，值为 1。

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4. 微分方程与积分

例题 (2022年)

解微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2x$，满足 $y(0) = 1$。

解答：

1. 积分： $$y = \int 2x \, dx = x^2 + C$$
2. 代入初始条件： $$1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$$
3. 特解：$y = x^2 + 1$。

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5. 物理应用

例题 (2015年)

已知物体速度 $v(t) = 3t^2 + 2t$，求从 $t = 0$ 到 $t = 2$ 的位移。

解答：

$$\text{位移} = \int_0^2 (3t^2 + 2t) \, dt = \left[ t^3 + t^2 \right]_0^2 = 8 + 4 = 12$$

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6. 真题解析

综合题 (2020年)

求由 $y = e^{-x}$、$y = 0$、$x = 0$ 和 $x = 1$ 围成的区域绕 y 轴旋转的体积。

解答：

1. 使用壳层法： $$V = 2\pi \int_0^1 x \cdot e^{-x} \, dx$$
2. 分部积分： $$\int x e^{-x} \, dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} \, dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C$$
3. 代入上下限： $$V = 2\pi \left[ (-1 \cdot e^{-1} - e^{-1}) - (0 - 1) \right] = 2\pi \left( 1 - \frac{2}{e} \right)$$

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💡 小贴士：

• 分部积分适用于积分部分是多项式与指数/三角函数的乘积。
• 物理应用中注意区分位移（积分速度）与总距离（积分速度绝对值）。
• 真题练习时，优先掌握旋转体体积的两种方法（圆盘法 vs 壳层法）。