AP Statistics-异常值、杠杆点、影响点判定及其各自影响

在AP统计中，高杠杆点和影响点的判定是“先判定高杠杆点，再验证是否为影响点”的递进过程，核心区别是：高杠杆点仅需满足“x值极端”，而影响点是“高杠杆点+移除后模型显著变化”。以下是具体判定方法（适配AP题的考查逻辑）：

一、如何判定“高杠杆点”？

高杠杆点的核心特征是：解释变量$x$的值远偏离$x$的样本均值$\bar{x}$（即$x$在散点图中位置极端）。AP题中判定方法分2种：

1. 直观判定（AP题最常用）

通过散点图观察$x$的位置：

• 该点的$x$值明显超出其他点的$x$取值范围（如其他点的$x$在10-20之间，该点$x=50$）；
• 该点的$x$值远大于/小于$x$的样本均值$\bar{x}$（如$\bar{x}=15$，该点$x=1$或$x=30$）。

2. 杠杆值（Leverage Value）判定（AP题偶尔提经验法则）

杠杆值衡量$x$对模型的“潜在影响能力”，公式为：

$$h_i = \frac{1}{n} + \frac{(x_i - \bar{x})^2}{\sum_{j=1}^n (x_j - \bar{x})^2}$$

AP统计中常用经验法则：若杠杆值$h_i > \frac{2(k+1)}{n}$（双变量分析中$k=1$，故为$\frac{4}{n}$，$n$是样本量），则该点为高杠杆点。

例如：$n=20$时，$\frac{4}{20}=0.2$，若某点杠杆值$h_i=0.3>0.2$，则为高杠杆点。

二、如何判定“影响点”？

影响点的前提是“该点已被判定为高杠杆点”（只有$x$极端的点，才有能力改变模型），再通过“移除验证”判定：

移除该点后，观察以下模型参数是否发生显著变化：

1. 回归线的斜率$b$（如原始斜率$b=3.2$，移除后变为$b=1.5$，变化幅度超50%）；
2. 相关系数$r$（如原始$r=0.8$，移除后变为$r=0.4$，相关性大幅减弱）；
3. 截距$a$（通常伴随斜率变化）。

三、AP题中的典型场景与结论

场景（散点图特征）	判定结果	理由
$x$极端（高杠杆），移除后斜率/r无明显变化	高杠杆点，不是影响点	$x$极端但$y$贴合回归线（残差小），对模型无实际改变力。
$x$极端（高杠杆），移除后斜率/r显著变化	高杠杆点+影响点	$x$极端且$y$偏离回归线（残差大），对模型有“决定性拉拽作用”。
$x$正常，$y$偏离回归线（残差大）	离群值，不是高杠杆点/影响点	$x$不极端，无能力改变模型，仅为普通离群值。

四、AP题易错点提醒

1. 影响点一定是高杠杆点（只有$x$极端才能影响模型），但高杠杆点不一定是影响点（若$y$贴合趋势，无偏离）；
2. 不要混淆“离群值”和“高杠杆点”：离群值看$y$偏离趋势，高杠杆点看$x$位置极端；
3. FRQ中判定影响点需写全步骤：“该点$x$远偏离$\bar{x}$（是高杠杆点），移除后斜率从$b=3$变为$b=1.2$（显著变化），故为影响点”。

五、异常值/离群值/杠杆点移除对模型的影响对比表

（注：AP统计中“异常值”通常指回归离群值，表格中统一术语并区分核心场景）

点的类型（细分场景）	位置核心特征	移除后对相关系数$r$的影响	移除后对回归线斜率$b$的影响	移除后对$y$总体方差的影响	移除后对残差方差的影响	AP常考场景提示
回归离群值（$x$正常，$y$偏离趋势）	$x$接近$\bar{x}$，$y$显著偏离回归线（残差大）	变大（剩余点更聚集，线性相关性增强）	基本不变（$x$不极端，对斜率拉力弱）	变小（移除$y$极值，离散度降低）	变小（移除大残差点，预测误差降低）	选择题常考“移除离群值后$r$变大”
高杠杆点（$x$极端，$y$贴合趋势）	$x$远偏离$\bar{x}$，$y$在回归线上（残差小）	变小（失去极端点支撑，线性聚集度下降）	基本不变（$y$贴合趋势，无偏离拉力）	轻微变小（$y$在正常范围，仅$x$极端）	基本不变（残差本就小）	选择题易混淆“高杠杆点≠影响点”
影响点（单侧：$x$极端+$y$偏离趋势）	$x$远偏离$\bar{x}$，$y$显著偏离回归线（残差大）	变大（移除偏离点，点更聚集）	显著变化（如原被拉高→变平缓/原被拉低→变陡峭）	变小（移除$y$极值）	显著变小（移除高杠杆+大残差点）	FRQ常考“移除影响点后斜率变平缓”
影响点（双侧：$x$极小+极大，$y$分别偏离两侧）	$x$分处$\bar{x}$两端，$y$分别在回归线上下（残差大）	变大（移除偏离点）	轻微变化（两侧拉力相互抵消）	变小（移除$y$极值）	显著变小（移除大残差点）	选择题考“双侧影响点移除后斜率变化小”
混合点（$x$正常离群值+$x$极端影响点）	一个$x$正常、$y$偏离；一个$x$极端、$y$偏离	变大（移除两个偏离点）	变小（高杠杆点的“拉高/拉低”拉力主导）	变小（移除$y$极值）	显著变小（移除两个大残差点）	对应之前“Penguin+Superman”场景，FRQ考斜率变化分析