发布日期: 2026-01-30

文章字数: 4k

阅读时长: 17 分

AP PreCalculus 第13课完整讲义：三角函数建模、正切函数与三角方程

（适配2025 College Board考纲，含教学流程、例题、真题、练习全解析）

一、课程基本信息

项目	详情
课时	2小时（120分钟）
所属单元	Unit 3: Trigonometric and Polar Functions
对应考纲章节	3.7（正切函数图像与性质）、3.8（反三角函数基础）、3.9（三角方程求解）、3.10（三角函数建模）
前置知识	单位圆三角函数定义、正弦/余弦函数性质、诱导公式、正弦型函数参数意义、基础方程求解
教学目标	1. 掌握正切函数的图像特征、定义域、值域、周期等核心性质 2. 理解反三角函数（$\arcsin x$、$\arccos x$、$\arctan x$）的定义域与值域，能求特殊角的反三角函数值 3. 熟练求解$[0,2\pi)$及指定区间内的三角方程（$\sin x=k$、$\cos x=k$、$\tan x=k$） 4. 能运用正弦型函数构建周期现象模型，解决温度、潮汐、振动等实际问题
教学重难点	重点：正切函数性质、三角方程求解、三角函数建模步骤难点：三角方程多解性判断、反三角函数值域限制、建模时参数与实际情境的对应

二、教学流程（120分钟）

1. 导入环节（10分钟）

情境引入：展示单摆振动轨迹图、一天中温度变化曲线、正切函数图像，提问：“正切函数的图像为什么有间断？如何根据单摆的周期和最大摆角写出振动方程？已知$\sin x=0.5$，除了$30^\circ$还有哪些解？”
知识衔接：回顾上节课正弦型函数的参数模型（$y=A\sin(B(x-C))+D$），关联单位圆中$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$的定义（$\cos\theta=0$时无定义），引出正切函数的定义域限制和三角方程的多解性。
考纲提示：本课时内容占AP PreCalculus考试的13%-15%，三角方程求解和三角函数建模是解答题高频考点，反三角函数是衔接微积分的基础，需重点掌握。

2. 核心知识点讲解（60分钟）

模块1：正切函数的图像与性质（15分钟）

关键术语：正切函数（Tangent Function）、垂直渐近线（Vertical Asymptote）、定义域（Domain）、值域（Range）

定义回顾：$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$（$\cos\theta\neq0$），即单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值。
核心性质：

性质	具体内容
定义域	${x\mid x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}}$（$\cos x=0$的点为渐近线）
值域	$\mathbb{R}$（全体实数）
周期	$\pi$（比$\sin x$、$\cos x$周期短，由诱导公式$\tan(x+\pi)=\tan x$验证）
奇偶性	奇函数（$\tan(-x)=-\tan x$）
单调性	在每个区间$(-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi)$（$k\in\mathbb{Z}$）内单调递增
渐近线	$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$），图像趋近于渐近线但不相交

图像绘制（三点+渐近线法）：以$(-\frac{\pi}{4},-1)$、$(0,0)$、$(\frac{\pi}{4},1)$为关键点，标注渐近线$x=-\frac{\pi}{2}$和$x=\frac{\pi}{2}$，勾勒单调递增曲线，再根据周期性扩展到其他区间。
例题1：求函数$y=\tan(2x)-1$的定义域、周期和渐近线
解析：
- 定义域：$2x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\implies x\neq\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$（$k\in\mathbb{Z}$）；
- 周期：$T=\frac{\pi}{B}=\frac{\pi}{2}$（$B=2$）；
- 渐近线：$x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}$（$k\in\mathbb{Z}$）。

模块2：反三角函数基础（10分钟）

关键术语：反三角函数（Inverse Trigonometric Functions）、反正弦（Arcsine）、反余弦（Arccosine）、反正切（Arctangent）

核心作用：已知三角函数值，求对应的角（需限制值域保证唯一性）。
三大反三角函数核心性质：

函数	定义域	值域（主值范围）	特殊值
$\arcsin x$（$y=\sin x$的反函数）	$[-1,1]$	$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$	$\arcsin 0=0$，$\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}$，$\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})=-\frac{\pi}{4}$
$\arccos x$（$y=\cos x$的反函数）	$[-1,1]$	$[0,\pi]$	$\arccos 1=0$，$\arccos(-\frac{1}{2})=\frac{2\pi}{3}$，$\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{6}$
$\arctan x$（$y=\tan x$的反函数）	$\mathbb{R}$	$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$	$\arctan 0=0$，$\arctan 1=\frac{\pi}{4}$，$\arctan(-\sqrt{3})=-\frac{\pi}{3}$

例题2：求下列反三角函数值：① $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$；② $\arccos 0$；③ $\arctan(\sqrt{3})$
解析：
- ① $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{\pi}{3}$（值域$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，对应角为负）；
- ② $\arccos 0=\frac{\pi}{2}$（值域$[0,\pi]$，$\cos\frac{\pi}{2}=0$）；
- ③ $\arctan(\sqrt{3})=\frac{\pi}{3}$（值域$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，$\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$）。

模块3：三角方程求解（20分钟）

关键术语：三角方程（Trigonometric Equation）、通解（General Solution）、特解（Specific Solution）

核心原则：利用单位圆对称性和三角函数周期性，先求$[0,2\pi)$内的特解，再推导通解（如需）。
三类核心方程求解步骤（$x\in[0,2\pi)$）：
1. 方程$\sin x=k$（$|k|\leq1$）：
  - 步骤：① 求参考角$\alpha=\arcsin|k|$；② 第一象限解$\alpha$，第二象限解$\pi-\alpha$（$k>0$）；第三象限解$\pi+\alpha$，第四象限解$2\pi-\alpha$（$k<0$）；③ $k=0$时解为$0$、$\pi$；$k=\pm1$时解为$\frac{\pi}{2}$、$\frac{3\pi}{2}$（$k=1$对应$\frac{\pi}{2}$，$k=-1$对应$\frac{3\pi}{2}$）。
2. 方程$\cos x=k$（$|k|\leq1$）：
  - 步骤：① 求参考角$\alpha=\arccos|k|$；② 第一象限解$\alpha$，第四象限解$2\pi-\alpha$（$k>0$）；第二象限解$\pi-\alpha$，第三象限解$\pi+\alpha$（$k<0$）；③ $k=0$时解为$\frac{\pi}{2}$、$\frac{3\pi}{2}$；$k=\pm1$时解为$0$、$\pi$（$k=1$对应$0$，$k=-1$对应$\pi$）。
3. 方程$\tan x=k$（$k\in\mathbb{R}$）：
  - 步骤：① 求参考角$\alpha=\arctan|k|$；② 第一象限解$\alpha$，第三象限解$\pi+\alpha$（$k>0$）；第二象限解$\pi-\alpha$，第四象限解$2\pi-\alpha$（$k<0$）；③ $k=0$时解为$0$、$\pi$（周期$\pi$，两解）。
例题3：求解方程$\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$（$x\in[0,2\pi)$）
解析：
- 参考角$\alpha=\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4}$；
- $k<0$，解在第二、三象限：$\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$，$\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}$；
- 答案：$\frac{3\pi}{4}$、$\frac{5\pi}{4}$。

模块4：三角函数建模（15分钟）

关键术语：周期现象建模（Periodic Phenomenon Modeling）、实际情境对应（Practical Context Correspondence）

建模核心步骤：
1. 确定模型类型：优先选择正弦型函数$y=A\sin(B(x-C))+D$或$y=A\cos(B(x-C))+D$（根据初始条件选择）；
2. 提取关键数据：
  - 最大值$M$、最小值$m$（求$A$和$D$）；
  - 周期$T$（求$B$，$B=\frac{2\pi}{T}$）；
  - 初始值或特殊点（求$C$，相位平移）；
3. 构建表达式：代入参数$A$、$B$、$C$、$D$，验证模型合理性（代入特殊点检验）；
4. 解决实际问题：用模型预测或解释情境。
例题4：某海滨城市潮汐的最大水深12米，最小水深4米，周期12小时，凌晨3点达到最大水深。构建水深$h(t)$（米）关于时间$t$（小时，$t=0$为凌晨0点）的函数模型
解析：
- 求$A$和$D$：$A=\frac{12-4}{2}=4$，$D=\frac{12+4}{2}=8$；
- 求$B$：周期$T=12$，$B=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$；
- 求$C$：$t=3$时$h(t)=12$（最大值），选余弦模型（$\cos 0=1$）：$h(t)=4\cos\left(\frac{\pi}{6}(t-C)\right)+8$，代入$t=3$得$\frac{\pi}{6}(3-C)=0\implies C=3$；
- 模型：$h(t)=4\cos\left(\frac{\pi}{6}(t-3)\right)+8$（或化简为$h(t)=4\sin\left(\frac{\pi}{6}t+\frac{\pi}{2}\right)+8$）。

3. 真题实战与易错点剖析（30分钟）

近5年真题解析（每题6分钟，含思路梳理+评分点）

1. 2025年真题 Q24（选择题）

题目：What is the solution set of $\tan x=\sqrt{3}$ for $x\in[0,2\pi)$?
A. ${\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}}$
B. ${\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}}$
C. ${\frac{\pi}{6},\frac{7\pi}{6}}$
D. ${\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}}$
解析：

考点：正切函数三角方程求解（核心评分点）
步骤：① 参考角$\alpha=\arctan\sqrt{3}=\frac{\pi}{3}$；② $\tan x>0$，解在第一、三象限；③ 第一象限$\frac{\pi}{3}$，第三象限$\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}$；
答案：A（评分点：参考角计算1分，象限判断1分）

2. 2024年真题 Q28（解答题）

题目：A temperature model for a city is given by $T(t)=15\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-3)\right)+20$，where $T$ is temperature in $^\circ\text{C}$ and $t$ is month (1=January, 2=February, …, 12=December). Find the maximum temperature and the month it occurs.
解析：

考点：三角函数建模的参数解读（核心评分点）
步骤：① 正弦型函数最大值$=D+|A|$；② $A=15$，$D=20$，故最大温度$=20+15=35^\circ\text{C}$；③ 最大值时$\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-3)\right)=1\implies\frac{\pi}{6}(t-3)=\frac{\pi}{2}\implies t-3=3\implies t=6$（六月）；
答案：Maximum temperature is $35^\circ\text{C}$，occurring in June（评分点：最大值计算1分，月份求解1分）

3. 2023年真题 Q32（选择题）

题目：What is the value of $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)$?
A. $\frac{\pi}{3}$
B. $\frac{2\pi}{3}$
C. $\frac{4\pi}{3}$
D. $\frac{5\pi}{3}$
解析：

考点：反余弦函数的值域限制（核心评分点）
步骤：① $\arccos x$的值域为$[0,\pi]$；② 找$[0,\pi]$内$\cos\theta=-\frac{1}{2}$的角，$\theta=\frac{2\pi}{3}$；
答案：B（评分点：值域记忆正确1分，特殊角对应1分）

4. 2022年真题 Q19（解答题）

题目：Solve the equation $\sin 2x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ for $x\in[0,\pi)$.
解析：

考点：复合角三角方程求解（核心评分点）
步骤：① 设$\theta=2x$，则$\theta\in[0,2\pi)$，方程变为$\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{2}$；② 解得$\theta=\frac{\pi}{4}$、$\frac{3\pi}{4}$；③ 回代$x=\frac{\theta}{2}$，得$x=\frac{\pi}{8}$、$\frac{3\pi}{8}$；
答案：$\frac{\pi}{8}$、$\frac{3\pi}{8}$（评分点：变量替换1分，解的范围转换1分）

5. 2021年真题 Q34（选择题）

题目：Which of the following is the domain of $y=\arcsin(\tan x)$?
A. $[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$
B. $(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})$
C. $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
D. $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
解析：

考点：反三角函数定义域与正切函数值域的结合（核心评分点）
步骤：① $\arcsin u$的定义域为$u\in[-1,1]$，故$\tan x\in[-1,1]$；② 解$\tan x\in[-1,1]$，得$x\in[-\frac{\pi}{4}+k\pi,\frac{\pi}{4}+k\pi]$（$k\in\mathbb{Z}$），结合选项选基础区间$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$；
答案：A（评分点：定义域转换1分，正切不等式求解1分）

高频易错点及应对措施

易错点类型	具体错误表现	解决方案
正切函数性质错误	1. 误将正切函数周期记为$2\pi$ 2. 忽略定义域限制（$\cos x=0$的点） 3. 认为正切函数的值域是$[-1,1]$	1. 公式强化：正切函数周期$T=\pi$，写在笔记显眼位置，对比$\sin/\cos$的$2\pi$周期 2. 定义域口诀：“$\frac{\pi}{2}$加$\pi$的整数倍，正切函数无定义” 3. 图像记忆：正切函数图像向上下无限延伸，值域为全体实数，结合例题$y=\tan x$在$x\to\frac{\pi}{2}^-$时$y\to+\infty$，强化值域认知
三角方程漏解/多解	1. 只找第一象限解，忽略其他象限的解 2. 超出指定区间（如$[0,2\pi)$）的解未剔除 3. 复合角方程（如$\sin 2x=k$）未转换范围	1. 步骤固化：“先求参考角→按$k$正负定象限→列全$[0,2\pi)$内解→验证区间” 2. 单位圆辅助：画单位圆标注三角函数值对应的角，直观避免漏解 3. 复合角处理：先设$\theta=Bx+C$，转换$\theta$的范围，求解后回代$x$，再筛选符合原区间的解
反三角函数值域混淆	1. $\arcsin x$的值域误记为$[0,\pi]$ 2. $\arccos x$的解超出$[0,\pi]$ 3. 忽略反三角函数的定义域限制（$\arcsin x$、$\arccos x$的$x\in[-1,1]$）	1. 表格记忆：将三大反三角函数的定义域、值域整理成表格，每日默写 2. 实例验证：$\arcsin(-\frac{1}{2})=-\frac{\pi}{6}$（而非$\frac{7\pi}{6}$），因$\arcsin x$值域$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 3. 定义域预警：看到$\arcsin x$或$\arccos x$，先检查$x$是否在$[-1,1]$内，否则无意义
建模参数对应错误	1. 混淆$A$（振幅）和$D$（垂直中线）的计算 2. 周期$T$与$B$的关系误写为$B=\frac{T}{2\pi}$ 3. 相位平移$C$与实际情境的初始条件不匹配	1. 参数公式贴墙：$A=\frac{M-m}{2}$，$D=\frac{M+m}{2}$，$B=\frac{2\pi}{T}$，反复默写 2. 单位验证：$T$的单位为小时/天，$B$无单位，若$T=12$小时，$B=\frac{2\pi}{12}=\frac{\pi}{6}$（合理），避免颠倒公式 3. 初始条件代入：建模后必代入已知点（如最大值点、初始点）验证，若不符，调整$C$的符号或模型类型（$\sin$换$\cos$）

4. 课堂小结与公式梳理（10分钟）

核心公式清单（按考点分类）

正切函数核心性质：
- 定义域：$\boldsymbol{x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi}$（$k\in\mathbb{Z}$）；
- 值域：$\boldsymbol{\mathbb{R}}$；
- 周期：$\boldsymbol{T=\pi}$；
- 奇偶性：$\tan(-x)=-\tan x$（奇函数）。
反三角函数核心性质：

函数	定义域	值域
$\arcsin x$	$[-1,1]$	$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
$\arccos x$	$[-1,1]$	$[0,\pi]$
$\arctan x$	$\mathbb{R}$	$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$

三角方程求解公式（$x\in[0,2\pi)$）：
- $\sin x=k$（$|k|\leq1$）：$\alpha=\arcsin|k|$，解为$\alpha$、$\pi-\alpha$（$k>0$）；$\pi+\alpha$、$2\pi-\alpha$（$k<0$）；
- $\cos x=k$（$|k|\leq1$）：$\alpha=\arccos|k|$，解为$\alpha$、$2\pi-\alpha$（$k>0$）；$\pi-\alpha$、$\pi+\alpha$（$k<0$）；
- $\tan x=k$：$\alpha=\arctan|k|$，解为$\alpha$、$\pi+\alpha$（$k>0$）；$\pi-\alpha$、$2\pi-\alpha$（$k<0$）。
三角函数建模参数公式：
- 振幅：$\boldsymbol{A=\frac{\text{最大值}-\text{最小值}}{2}}$；
- 垂直中线：$\boldsymbol{D=\frac{\text{最大值}+\text{最小值}}{2}}$；
- 角频率：$\boldsymbol{B=\frac{2\pi}{\text{周期}T}}$；
- 模型表达式：$\boldsymbol{y=A\sin\left(B(x-C)\right)+D}$或$\boldsymbol{y=A\cos\left(B(x-C)\right)+D}$。

学习建议

专项练习：针对三角方程，每天练5道不同类型（$\sin$、$\cos$、$\tan$、复合角）的题目，强化“参考角→象限→解”的流程；
建模实操：找3个实际情境（如气温、潮汐、钟摆），按“提取数据→求参数→建模型→验证”的步骤实操，熟悉参数与情境的对应；
错题复盘：将“漏解”“参数混淆”“值域错误”的题目分类，标注错误原因，每周复盘1次，避免重复犯错。

5. 课后作业（分层设计）

基础题（必做）

求函数$y=\tan\left(3x+\frac{\pi}{6}\right)+2$的定义域、周期和渐近线。
求解下列方程（$x\in[0,2\pi)$）：
- $\sin x=-\frac{1}{2}$
- $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$
- $\tan x=-1$
已知某钟摆的振动方程为$y=0.5\sin\left(2\pi t+\frac{\pi}{3}\right)$（$y$为摆角，$t$为时间秒），求振幅、周期和$t=0$时的摆角。

提升题（选做，对接AP解答题）

求解方程$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$（$x\in[0,\pi]$），并写出通解。
某地区的日照时间模型为$L(t)=2\sin\left(\frac{\pi}{6}(t-6)\right)+12$（$L$为日照小时数，$t$为月份，$t=1$为1月），求日照时间最长的月份及最长时长，以及日照时间为11小时的月份。