【OSSD】Trigonometry 知识点总结与公式整理

1. 三角函数基本概念

1.1 三角函数定义

正弦函数 (Sine Function)

$$y = \sin x$$

• 定义域: 全体实数
• 值域: [-1, 1]
• 周期: 2π
• 零点: x = kπ (k ∈ ℤ)
• 极值点: ((k+1/2)π, (-1)ᵏ)

余弦函数 (Cosine Function)

$$y = \cos x = \sin(x + \pi/2)$$

• 定义域: 全体实数
• 值域: [-1, 1]
• 周期: 2π
• 零点: x = (k+1/2)π (k ∈ ℤ)
• 极值点: (kπ, (-1)ᵏ)

正切函数 (Tangent Function)

$$y = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$

• 定义域: x ≠ (k+1/2)π (k ∈ ℤ)
• 值域: 全体实数
• 周期: π
• 渐近线: x = (k+1/2)π
• 单调性: 在每个定义区间内单调递增

1.2 一般三角函数形式

一般正弦函数:

$$y = A \sin(\omega x + \varphi_0)$$

• A: 振幅
• ω: 角频率 (ω = 2π/T, T为周期)
• φ₀: 初相位

2. 三角函数重要公式

2.1 基本关系式

$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$ $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$ $$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$$ $$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{1}{\tan \theta}$$

2.2 和差公式

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$ $$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$$ $$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}$$

2.3 倍角公式

$$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$$ $$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 = 1 - 2 \sin^2 \theta$$ $$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$$

2.4 半角公式

$$\sin \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$$ $$\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}$$ $$\tan \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{1 + \cos \theta}} = \frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}$$

2.5 积化和差公式

$$\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)]$$ $$\cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{2} [\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)]$$ $$\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)]$$ $$\sin \alpha \sin \beta = -\frac{1}{2} [\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)]$$

2.6 和差化积公式

$$\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)$$ $$\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)$$ $$\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)$$ $$\cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \sin \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right)$$

3. 三角函数的图像与性质

3.1 基本三角函数图像

函数	图像特征	周期	对称性
sin(x)	波浪形，通过原点	2π	奇函数，关于原点对称
cos(x)	波浪形，在y轴截距为1	2π	偶函数，关于y轴对称
tan(x)	不连续，有垂直渐近线	π	奇函数，关于原点对称

3.2 变换规律

1. 振幅变换: y = A sin(x) 或 y = A cos(x)

   • |A| > 1: 垂直拉伸
   • 0 < |A| < 1: 垂直压缩
   • A < 0: 图像翻转

2. 周期变换: y = sin(Bx) 或 y = cos(Bx)

   • 周期 T = 2π/|B|
   • B > 1: 水平压缩
   • 0 < B < 1: 水平拉伸

3. 相位移动: y = sin(x + C) 或 y = cos(x + C)

   • C > 0: 向左移动C个单位
   • C < 0: 向右移动|C|个单位

4. 垂直移动: y = sin(x) + D 或 y = cos(x) + D

   • D > 0: 向上移动D个单位
   • D < 0: 向下移动|D|个单位

4. 解三角形

4.1 正弦定理

对于任意三角形ABC:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$

其中R为三角形外接圆半径。

4.2 余弦定理

对于任意三角形ABC:

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$

4.3 面积公式

1. 基本面积公式:

   $$S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高}$$

2. 海伦公式:

   $$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \quad p = \frac{a+b+c}{2}$$

3. 三角函数面积公式:

   $$S = \frac{1}{2} ab \sin C = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} ac \sin B$$

5. 反三角函数

5.1 定义与性质

1. 反正弦函数 (arcsin)

   • 定义域: [-1, 1]
   • 值域: [-π/2, π/2]
   • 单调递增

2. 反余弦函数 (arccos)

   • 定义域: [-1, 1]
   • 值域: [0, π]
   • 单调递减

3. 反正切函数 (arctan)

   • 定义域: ℝ
   • 值域: (-π/2, π/2)
   • 单调递增

5.2 重要关系

$$\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}, \quad x \in [-1, 1]$$ $$\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2} \text{sgn}(x), \quad x \neq 0$$

6. 真题解析

6.1 典型例题1

题目: 求函数 y = 2sin(3x - π/4) + 1 的振幅、周期、相位移动和垂直移动。

解析:

1. 振幅: A = 2
2. 周期: T = 2π/3
3. 相位移动: φ₀ = π/4 ⇒ 向右移动 π/12 个单位 (因为相位移动 = φ₀/ω = π/4 ÷ 3 = π/12)
4. 垂直移动: 向上移动1个单位

6.2 典型例题2

题目: 解方程 2cos²x - sinx - 1 = 0, x ∈ [0, 2π]

解析:
使用恒等式 cos²x = 1 - sin²x 将方程转化为关于sinx的二次方程:

$$2(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0 \\ 2 - 2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \\ -2\sin^2 x - \sin x + 1 = 0 \\ 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$$

设 y = sinx，得:

$$2y^2 + y - 1 = 0 \\ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$$

解得:

$$y_1 = \frac{1}{2}, \quad y_2 = -1$$

因此:

$$\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \\ \sin x = -1 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2}$$

解集为: {π/6, 5π/6, 3π/2}

6.3 典型例题3

题目: 在△ABC中，已知a=5, b=7, c=8，求角C的大小。

解析:
使用余弦定理:

$$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{25 + 49 - 64}{2 \times 5 \times 7} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$$

因此:

$$C = \arccos \left( \frac{1}{7} \right) \approx 81.79^\circ$$

7. 考试重点与备考建议

1. 重点内容:

   • 三角函数的基本性质与图像变换
   • 三角恒等式的证明与应用
   • 解三角形(正弦定理、余弦定理的应用)
   • 三角方程的解集

2. 备考建议:

   • 熟练掌握所有基本公式并能灵活运用
   • 理解三角函数图像的各种变换
   • 练习解不同类型的三角方程
   • 掌握解三角形问题的多种方法
   • 注意角度制与弧度制的转换

3. 常见错误:

   • 忽略三角函数的定义域限制
   • 混淆相位移动的方向
   • 解三角方程时遗漏解
   • 使用正弦/余弦定理时混淆边角对应关系

通过系统掌握以上知识点和公式，并结合大量练习，学生可以充分准备OSSD考试中的三角函数部分。