一、复数的基本表示与定义
- 定义：$ z = x + yi $，其中：
- $ x = \text{Re}(z) $（复数的实部，real part），
- $ y = \text{Im}(z) $（复数的虚部，imaginary part），
- $ i = \sqrt{-1} $（虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $，$ i^3 = -i $，$ i^4 = 1 $）。
- 相等条件：若 $ z_1 = x_1 + y_1i $，$ z_2 = x_2 + y_2i $，则 $ z_1 = z_2 \iff x_1 = x_2 $ 且 $ y_1 = y_2 $。
- 定义：$ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $ 或简写为 $ r\text{cos}\theta $，其中：
- $ r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} $（复数的模，modulus，非负实数），
- $ \theta = \arg(z) $（复数的幅角，argument，主值范围：$ -\pi < \theta \leq \pi $ 或 $ 0 \leq \theta < 2\pi $，考试中需按题目要求或主值范围书写）。
- 代数形式与极坐标形式的转换：
- 象限修正示例：
- 若 $ z = -1 + i $（第二象限），则 $ \theta = \pi - \arctan(1) = \frac{3\pi}{4} $；
- 若 $ z = -1 - i $（第三象限），则 $ \theta = -\pi + \arctan(1) = -\frac{3\pi}{4} $。
- 定义：由欧拉公式推导，$ z = re^{i\theta} $，其中：
- 欧拉公式：$ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta $（高频考点，常用于幂运算简化）。
二、复数的运算规则
1. 代数形式运算
| 运算类型 | 公式（设 $ z_1 = x_1 + y_1i $，$ z_2 = x_2 + y_2i $） |
|---|
| 加法 | $ z_1 + z_2 = (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2)i $ |
| 减法 | $ z_1 - z_2 = (x_1 - x_2) + (y_1 - y_2)i $ |
| 乘法 | $ z_1z_2 = (x_1x_2 - y_1y_2) + (x_1y_2 + x_2y_1)i $ |
| 除法（分母实数化） | $ \frac{z_1}{z_2} = \frac{(x_1 + y_1i)(x_2 - y_2i)}{x_2^2 + y_2^2} $ |
2. 极坐标/指数形式运算
| 运算类型 | 极坐标形式（$ z_1 = r_1\text{cos}\theta_1 $，$ z_2 = r_2\text{cos}\theta_2 $） | 指数形式（$ z_1 = r_1e^{i\theta_1} $，$ z_2 = r_2e^{i\theta_2} $） |
|---|
| 乘法 | $ z_1z_2 = r_1r_2\text{cos}(\theta_1 + \theta_2) $ | $ z_1z_2 = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)} $ |
| 除法 | $ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}\text{cos}(\theta_1 - \theta_2) $ | $ \frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1 - \theta_2)} $ |
| 幂运算 | 见“德摩根定理” | 见“德摩根定理” |
三、核心定理：德摩根定理（De Moivre’s Theorem）
1. 整数幂（$ n \in \mathbb{Z} $）
- 公式：$ [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) $
（指数形式：$ (re^{i\theta})^n = r^n e^{in\theta} $） - 应用：快速计算复数的高次幂，避免代数形式展开的繁琐。
2. 分数幂（$ n = \frac{1}{k} $，$ k \in \mathbb{N}^* $，即 $ k $-次根）
- 公式：若 $ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $，则 $ z^{1/k} = \sqrt[k]{r}\left( \cos\frac{\theta + 2\pi m}{k} + i\sin\frac{\theta + 2\pi m}{k} \right) $，其中 $ m = 0, 1, 2, …, k-1 $。
- 关键性质：
- 复数的 $ k $-次根共有 $ k $ 个不同值；
- 根在阿冈图上均匀分布在以原点为圆心、$ \sqrt[k]{r} $ 为半径的圆上，相邻根的幅角差为 $ \frac{2\pi}{k} $。
四、共轭复数与模的性质
1. 共轭复数（Conjugate Complex Number）
- 定义：若 $ z = x + yi $，则共轭复数为 $ \overline{z} = x - yi $（实部不变，虚部变号）。
- 运算性质：
- $ \overline{z_1 \pm z_2} = \overline{z_1} \pm \overline{z_2} $
- $ \overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} $
- $ \overline{\left( \frac{z_1}{z_2} \right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} $（$ z_2 \neq 0 $）
- $ z + \overline{z} = 2\text{Re}(z) $，$ z - \overline{z} = 2i\text{Im}(z) $
- $ z \cdot \overline{z} = |z|^2 = x^2 + y^2 $（高频考点，用于分母实数化或求模）
2. 模的性质
- $ |z| = |\overline{z}| \geq 0 $，且 $ |z| = 0 \iff z = 0 $
- $ |z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2| $
- $ \left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} $（$ z_2 \neq 0 $）
- $ |z^n| = |z|^n $（$ n \in \mathbb{Z} $）
- 三角不等式：$ |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2| $，$ |z_1 - z_2| \geq ||z_1| - |z_2|| $（偶尔在证明题中出现）
五、复数方程求解
1. 二次方程（$ az^2 + bz + c = 0 $，$ a, b, c \in \mathbb{R} $，$ a \neq 0 $）
- 判别式：$ \Delta = b^2 - 4ac $
- 若 $ \Delta > 0 $：两个不等实根，$ z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} $；
- 若 $ \Delta = 0 $：两个相等实根，$ z = \frac{-b}{2a} $；
- 若 $ \Delta < 0 $：两个共轭复根，$ z = \frac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a} $（核心考点，注意虚部系数的符号）。
2. 高次方程（基于德摩根定理的根求解）
- 形式：$ z^n = \alpha $（$ \alpha $ 为已知复数）
- 步骤：
- 将 $ \alpha $ 转化为极坐标形式 $ \alpha = R(\cos\Phi + i\sin\Phi) $；
- 应用 $ n $-次根公式：$ z_m = \sqrt[n]{R}\left( \cos\frac{\Phi + 2\pi m}{n} + i\sin\frac{\Phi + 2\pi m}{n} \right) $（$ m = 0, 1, …, n-1 $）；
- 按需转化为代数形式。
六、复数的几何应用（阿冈图 Argand Diagram）
复数 $ z = x + yi $ 对应阿冈图上的点 $ (x, y) $，或从原点出发的向量 $ \overrightarrow{OZ} $。以下为常见轨迹的复数条件与方程转化：
| 轨迹类型 | 复数条件 | 直角坐标方程（对应点 $ (x, y) $） | 几何意义 |
|---|
| 圆 | $ \vert z - a \vert = r $（$ a = p + qi $ 为定点，$ r > 0 $） | $ (x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2 $ | 圆心 $ (p, q) $，半径 $ r $ 的圆 |
| 垂直平分线 | $ \vert z - a\vert = \vert z - b \vert $（$ a, b $ 为定点） | $ 2(p_2 - p_1)x + 2(q_2 - q_1)y = p_2^2 + q_2^2 - p_1^2 - q_1^2 $ | 线段 $ AB $ 的垂直平分线（$ A, B $ 对应 $ a, b $） |
| 射线 | $ \arg(z - a) = \theta $ | 过点 $ (p, q) $，倾斜角为 $ \theta $ 的射线 | 从 $ A $ 出发，方向为 $ \theta $ 的射线 |
| 圆环 | $ r_1 < \vert z - a \vert < r_2 $ | $ r_1^2 < (x - p)^2 + (y - q)^2 < r_2^2 $ | 两同心圆之间的区域 |
七、公式使用注意事项
- 幅角主值范围：考试中默认主值范围为 $ -\pi < \theta \leq \pi $，若计算结果超出范围，需加/减 $ 2\pi $ 调整（如 $ \frac{5\pi}{4} $ 需改为 $ -\frac{3\pi}{4} $）。
- 复数根的个数：求解 $ z^n = \alpha $ 时，务必写出 $ n $ 个根（$ m = 0 $ 到 $ n-1 $），不可遗漏。
- 轨迹方程转化：处理 $ |z - a| = |z - b| $ 时，优先用几何意义（垂直平分线）简化计算，而非直接平方展开。
- 模的非负性：计算 $ |z| $ 时，结果必为非实数，若出现负数需检查符号错误。
