发布日期: 2025-03-05

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AP Calculus极限求解方法总结｜10年真题解析

极限是AP Calculus考试的重点之一，掌握常见求解方法至关重要！以下是近10年真题中的经典例题及详细解析，帮你轻松搞定极限问题！

1. 直接代入法

例题 (2019年真题)

求极限：

$\lim_{x \to 3} (2x^2 - 5x + 1)$

解答步骤：

函数 $2x^2 - 5x + 1$ 在 $x = 3$ 处连续，直接代入 $x = 3$。
计算： $2(3)^2 - 5(3) + 1 = 2 \times 9 - 15 + 1 = 18 - 15 + 1 = 4$
因此，极限值为 4。

2. 因式分解法

例题 (2017年真题)

求极限：

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

解答步骤：

分子因式分解： $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$
化简分式： $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$
代入 $x = 2$： $\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4$
因此，极限值为 4。

3. 有理化法

例题 (2015年真题)

求极限：

$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}$

解答步骤：

有理化分子： $\frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9} \times \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 3} = \frac{x - 9}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 3}$
代入 $x = 9$： $\frac{1}{\sqrt{9} + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$
因此，极限值为 $\frac{1}{6}$。

4. 夹逼定理

例题 (2018年真题)

求极限：

$\lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right)$

解答步骤：

由于 $-1 \leq \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1$，因此： $-x^2 \leq x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2$
当 $x \to 0$ 时，$-x^2$ 和 $x^2$ 都趋近于 0。
根据夹逼定理，极限值为 0。

5. 洛必达法则

例题 (2021年真题)

求极限：

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$

解答步骤：

直接代入 $x = 0$ 得到 $\frac{0}{0}$，符合洛必达法则条件。
对分子和分母分别求导： $\frac{d}{dx}(e^x - 1) = e^x, \quad \frac{d}{dx}(x) = 1$
应用洛必达法则： $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1$
因此，极限值为 1。

6. 泰勒展开法

例题 (2020年真题)

求极限：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$

解答步骤：

将 $\sin x$ 泰勒展开到三阶： $\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$
代入极限表达式： $\frac{\sin x - x}{x^3} \approx \frac{(x - \frac{x^3}{6}) - x}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{6}}{x^3} = -\frac{1}{6}$
因此，极限值为 $-\frac{1}{6}$。

7. 无穷小替换法

例题 (2016年真题)

求极限：

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3}$

解答步骤：

利用无穷小替换 $\tan x \approx x + \frac{x^3}{3}$： $\frac{\tan x - x}{x^3} \approx \frac{(x + \frac{x^3}{3}) - x}{x^3} = \frac{\frac{x^3}{3}}{x^3} = \frac{1}{3}$
因此，极限值为 $\frac{1}{3}$。

8. 综合例题

例题 (2022年真题)

求极限：

$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$

解答步骤：

分子和分母因式分解： $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1), \quad x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$
化简分式： $\frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$
代入 $x = 1$： $\frac{1^2 + 1 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2}$
因此，极限值为 $\frac{3}{2}$。

9. 无穷极限

例题 (2014年真题)

求极限：

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 4x + 5}$

解答步骤：

当 $x \to \infty$ 时，最高次项主导。
分子和分母同时除以 $x^2$： $\frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 4x + 5} = \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x} + \frac{5}{x^2}}$
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{2}{x}$ 和 $\frac{1}{x^2}$ 趋近于 0，因此： $\lim_{x \to \infty} \frac{3 + 0 + 0}{1 + 0 + 0} = 3$
因此，极限值为 3。