AP Calculus 求导方法总结
目录
1. 基本求导法则
基本求导法则是求导的基础，包括常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
常用公式
- 常数：$\frac{d}{dx}[c] = 0$
- 幂函数：$\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$
- 指数函数：$\frac{d}{dx}[e^x] = e^x$
- 对数函数：$\frac{d}{dx}[\ln x] = \frac{1}{x}$
- 三角函数：
- $\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x$
- $\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x$
- $\frac{d}{dx}[\tan x] = \sec^2 x$
例题 (2015年真题)
求函数 $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ 的导数。
解答：
2. 链式法则
链式法则用于求复合函数的导数，公式为：
例题 (2018年真题)
求函数 $f(x) = \sin(3x^2)$ 的导数。
解答：
设 $u = 3x^2$，则 $f(x) = \sin u$。
3. 隐函数求导
隐函数求导用于求由方程 $F(x, y) = 0$ 定义的函数的导数。
例题 (2017年真题)
求由方程 $x^2 + y^2 = 25$ 定义的隐函数的导数 $\frac{dy}{dx}$。
解答：
对方程两边求导：
解得：
4. 高阶导数
高阶导数是导数的导数，常用于研究函数的凹凸性和加速度等问题。
例题 (2019年真题)
求函数 $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x - 1$ 的二阶导数。
解答：
先求一阶导数：
再求二阶导数：
5. 参数方程求导
参数方程求导用于求由参数方程 $x = x(t)$ 和 $y = y(t)$ 定义的函数的导数。
公式
例题 (2020年真题)
已知参数方程：
求 $\frac{dy}{dx}$。
解答：
计算 $\frac{dx}{dt}$ 和 $\frac{dy}{dt}$：
因此：
6. 极坐标方程求导
极坐标方程求导用于求由极坐标方程 $r = r(\theta)$ 定义的函数的导数。
极坐标和笛卡尔坐标转换关系
公式
极坐标求导，可看成是参数方程的求导。
例题 (2021年真题)
已知极坐标方程 $r = 2 + 3\cos \theta$，求 $\frac{dy}{dx}$。
解答：
计算 $\frac{dr}{d\theta}$：
代入公式：
7. 例题解析
以下是一些综合性的例题解析，帮助学生更好地理解和应用上述方法。
例题1 (2016年真题)
求函数 $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ 的导数。
解答：
使用链式法则：
例题2 (2022年真题)
求由方程 $xy + y^2 = 6$ 定义的隐函数的导数 $\frac{dy}{dx}$。
解答：
对方程两边求导：
解得：
例题3 (2014年真题)
已知参数方程：
求 $\frac{dy}{dx}$。
解答：
计算 $\frac{dx}{dt}$ 和 $\frac{dy}{dt}$：
因此：
💡 小贴士：
熟练掌握这些求导方法，考试中灵活应用，轻松拿高分！
