【AP Calculus】微分的应用总结及真题解析

目录

1. 切线与法线
2. 函数的单调性与极值
3. 函数的凹凸性与拐点
4. 最优化问题
5. 相关变化率
6. 微分近似与线性化
7. 例题解析

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1. 切线与法线

知识点

• 切线斜率：函数 $f(x)$ 在点 $x = a$ 处的切线斜率为 $f’(a)$。
• 切线方程：$y = f(a) + f’(a)(x - a)$。
• 法线方程：法线与切线垂直，斜率为 $-\frac{1}{f’(a)}$，方程为 $y = f(a) - \frac{1}{f’(a)}(x - a)$。

例题 (2015年真题)

求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 在 $x = 1$ 处的切线方程。

解答：

1. 计算 $f(1)$： $$f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 0$$
2. 计算导数 $f’(x)$： $$f'(x) = 3x^2 - 6x$$
3. 计算 $f’(1)$： $$f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = -3$$
4. 切线方程为： $$y = 0 + (-3)(x - 1) \quad \Rightarrow \quad y = -3x + 3$$

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2. 函数的单调性与极值

知识点

• 单调性：
  • 若 $f’(x) > 0$，则 $f(x)$ 单调递增。
  • 若 $f’(x) < 0$，则 $f(x)$ 单调递减。
• 极值：
  • 若 $f’(a) = 0$ 或 $f’(a)$ 不存在，且 $f’(x)$ 在 $a$ 点两侧变号，则 $f(a)$ 为极值。
  • 一阶导数测试：通过 $f’(x)$ 的符号变化判断极值类型。

例题 (2018年真题)

求函数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ 的单调区间和极值。

解答：

1. 求导数： $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$
2. 求临界点： $$3x^2 - 12x + 9 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \quad \text{或} \quad x = 3$$
3. 分析单调性：
   • 当 $x < 1$，$f’(x) > 0$，函数单调递增。
   • 当 $1 < x < 3$，$f’(x) < 0$，函数单调递减。
   • 当 $x > 3$，$f’(x) > 0$，函数单调递增。
4. 极值：
   • 在 $x = 1$ 处，$f(x)$ 取得极大值 $f(1) = 5$。
   • 在 $x = 3$ 处，$f(x)$ 取得极小值 $f(3) = 1$。

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3. 函数的凹凸性与拐点

知识点

• 凹凸性：
  • 若 $f’’(x) > 0$，则 $f(x)$ 在 $x$ 处凹向上。
  • 若 $f’’(x) < 0$，则 $f(x)$ 在 $x$ 处凹向下。
• 拐点：若 $f’’(a) = 0$ 或 $f’’(a)$ 不存在，且 $f’’(x)$ 在 $a$ 点两侧变号，则 $(a, f(a))$ 为拐点。

例题 (2019年真题)

求函数 $f(x) = x^4 - 4x^3$ 的凹凸区间和拐点。

解答：

1. 求二阶导数： $$f''(x) = 12x^2 - 24x$$
2. 求拐点候选： $$12x^2 - 24x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \quad \text{或} \quad x = 2$$
3. 分析凹凸性：
   • 当 $x < 0$，$f’’(x) > 0$，函数凹向上。
   • 当 $0 < x < 2$，$f’’(x) < 0$，函数凹向下。
   • 当 $x > 2$，$f’’(x) > 0$，函数凹向上。
4. 拐点：
   • 在 $x = 0$ 和 $x = 2$ 处，函数有拐点，分别为 $(0, 0)$ 和 $(2, -16)$。

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4. 最优化问题

知识点

• 最优化步骤：
  1. 建立目标函数和约束条件。
  2. 求导数并找临界点。
  3. 使用一阶或二阶导数测试判断极值。

例题 (2020年真题)

一个长方形围栏，一边靠墙，其余三边用 100 米的篱笆围成。求围栏的最大面积。

解答：

1. 设靠墙的边长为 $x$，另一条边为 $y$，则约束条件为： $$x + 2y = 100$$
2. 目标函数为面积： $$A = xy$$
3. 用约束条件表示 $x$： $$x = 100 - 2y$$
4. 代入目标函数： $$A = (100 - 2y)y = 100y - 2y^2$$
5. 求导数并找临界点： $$\frac{dA}{dy} = 100 - 4y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 25$$
6. 最大面积为： $$A = 100(25) - 2(25)^2 = 2500 - 1250 = 1250 \quad \text{平方米}$$

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5. 相关变化率

知识点

• 相关变化率：通过链式法则将两个相关量的变化率联系起来。

例题 (2017年真题)

一个气球以 3 cm/s 的速度膨胀，求当半径为 10 cm 时，气球表面积的变化率。

解答：

1. 已知半径变化率 $\frac{dr}{dt} = 3$ cm/s。
2. 表面积公式： $$S = 4\pi r^2$$
3. 求导数： $$\frac{dS}{dt} = 8\pi r \frac{dr}{dt}$$
4. 代入 $r = 10$ 和 $\frac{dr}{dt} = 3$： $$\frac{dS}{dt} = 8\pi (10)(3) = 240\pi \quad \text{cm}^2/\text{s}$$

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6. 微分近似与线性化

知识点

• 微分近似：用切线近似函数值，公式为： $$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$$

例题 (2021年真题)

用微分近似计算 $\sqrt{16.1}$。

解答：

1. 设 $f(x) = \sqrt{x}$，$a = 16$，$x = 16.1$。
2. 计算 $f(a)$ 和 $f’(a)$： $$f(16) = 4, \quad f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad f'(16) = \frac{1}{8}$$
3. 微分近似： $$f(16.1) \approx 4 + \frac{1}{8}(16.1 - 16) = 4 + \frac{0.1}{8} = 4.0125$$

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7. 例题解析

例题1 (2016年真题) 求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ 的极值。

7.1 解法一：利用一阶导数检验法求极值

7.1.1 求导数：

$$f'(x) = 3x^2 - 6x$$

7.1.2 求临界点：

$$3x^2 - 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \quad \text{或} \quad x = 2$$

7.1.3 使用一阶导数测试：

• 当 $x < 0$，$f’(x) > 0$，函数单调递增。
• 当 $0 < x < 2$，$f’(x) < 0$，函数单调递减。
• 当 $x > 2$，$f’(x) > 0$，函数单调递增。

  7.1.4 极值：

• 在 $x = 0$ 处，$f(x)$ 取得极大值 $f(0) = 4$。
• 在 $x = 2$ 处，$f(x)$ 取得极小值 $f(2) = 0$。

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7.2 解法二：利用二阶导数检验法求极值

7.2.1 求一阶导数

首先，计算函数的一阶导数 $f’(x)$：

$$f'(x) = \frac{d}{dx}[x^3 - 3x^2 + 4] = 3x^2 - 6x$$

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7.2.2 求临界点

令一阶导数等于零，解方程 $f’(x) = 0$：

$$3x^2 - 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x(x - 2) = 0$$

解得临界点为：

$$x = 0 \quad \text{或} \quad x = 2$$

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7.2.3 求二阶导数

计算函数的二阶导数 $f’’(x)$：

$$f''(x) = \frac{d}{dx}[3x^2 - 6x] = 6x - 6$$

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7.2.4 使用二阶导数判断极值类型

将临界点代入二阶导数 $f’’(x)$，判断极值类型：

• 在 $x = 0$ 处：

  $$f''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0$$

  因为 $f’’(0) < 0$，所以 $x = 0$ 是函数的极大值点。

• 在 $x = 2$ 处：

  $$f''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 > 0$$

  因为 $f’’(2) > 0$，所以 $x = 2$ 是函数的极小值点。

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7.2.5 计算极值

将临界点代入原函数 $f(x)$，计算极值：

• 在 $x = 0$ 处：

  $$f(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 4 = 4$$

  因此，函数在 $x = 0$ 处取得极大值 4。

• 在 $x = 2$ 处：

  $$f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$$

  因此，函数在 $x = 2$ 处取得极小值 0。

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7.2.6. 总结

通过二阶导数测试，我们得出：

• 函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ 在 $x = 0$ 处取得极大值 4。
• 函数在 $x = 2$ 处取得极小值 0。

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7.3 二阶导数测试的优势

• 快速判断极值类型：无需分析一阶导数的符号变化，直接通过二阶导数的正负性判断极值类型。
• 适用于复杂函数：对于高阶多项式或复杂函数，二阶导数测试通常比一阶导数测试更简便。

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7.4 补充：二阶导数测试的局限性

• 如果 $f’’(a) = 0$，二阶导数测试无法得出结论，需要结合一阶导数测试或其他方法进一步分析。
• 例如，对于函数 $f(x) = x^4$，在 $x = 0$ 处 $f’’(0) = 0$，但 $x = 0$ 是极小值点。

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💡 小贴士：

• 在考试中，如果题目允许，优先使用二阶导数测试判断极值类型，可以节省时间并减少错误！
• 熟练掌握这些应用题型，考试中灵活运用，轻松拿高分！