【A-Level】CIE S1几何分布总结与真题解析

CIE A-Level数学S1几何分布考试内容总结

一、核心知识点

1. 定义
   几何分布描述在独立伯努利试验中，首次成功发生在第$k$次试验的概率分布，记为$X \sim \text{Geo}(p)$，其中$p$为单次试验成功概率。

2. 概率质量函数（PMF）

   $$P(X = k) = (1-p)^{k-1}p, \quad k = 1, 2, 3, \dots$$

   表示首次成功出现在第$k$次试验的概率。

3. 累积分布函数（CDF）

   $$P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k$$

   表示前$k$次试验中至少有一次成功的概率。

4. 期望与方差

   • 期望：$E(X) = \frac{1}{p}$
   • 方差：$V(X) = \frac{1-p}{p^2}$

5. 无记忆性
   若$X \sim \text{Geo}(p)$，则对任意正整数$m, n$，有

   $$P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)$$

   即过去的失败不影响未来成功的概率。

二、近五年真题解析（2020-2024）

1. 2020年5月/6月卷（9709/51/M/J/20 Q2）

题目
A fair die is rolled repeatedly. Find the probability that the first 6 occurs on the 5th roll.

解析
设$X$表示首次出现6的试验次数，则$X \sim \text{Geo}\left(\frac{1}{6}\right)$。

$$P(X = 5) = \left(1 - \frac{1}{6}\right)^{5-1} \cdot \frac{1}{6} = \left(\frac{5}{6}\right)^4 \cdot \frac{1}{6} \approx 0.0804$$

坑点

• 注意$k=5$对应前4次失败，第5次成功，避免直接计算$(1-p)^5$。

2. 2021年10月/11月卷（9709/51/O/N/21 Q1）

题目
The probability that a biased coin lands on heads is $p$. The coin is tossed repeatedly until it lands on heads. Given that the probability that the first head occurs on the 3rd toss is $\frac{1}{16}$, find $p$.

解析
由题意：

$$P(X = 3) = (1-p)^2 p = \frac{1}{16}$$

令$q = 1-p$，则方程为$q^2 p = \frac{1}{16}$。
结合$p = 1 - q$，代入得：

$$q^2 (1 - q) = \frac{1}{16} \implies 16q^2 - 16q^3 = 1$$

通过试值法或解方程得$q = \frac{1}{2}$，故$p = \frac{1}{2}$。

坑点

• 联立方程时需正确展开代数表达式，避免计算错误。

3. 2022年5月/6月卷（9709/52/F/M/22 Q6）

题目
A company manufactures components. The probability that a component is defective is $0.05$. Components are tested one by one until a defective component is found. Find the probability that the first defective component is found before the 10th component.

解析
设$X \sim \text{Geo}(0.05)$，求$P(X \leq 9)$：

$$P(X \leq 9) = 1 - (1 - 0.05)^9 \approx 1 - 0.95^9 \approx 0.3769$$

坑点

• 注意题目要求“before the 10th”，即前9次中至少有一次成功，避免误用$P(X \leq 10)$。

4. 2023年10月/11月卷（9709/51/O/N/23 Q3）

（注：真题解析基于公开资源整理，具体题目以CIE官方发布为准）
题目
A student takes a driving test repeatedly until they pass. The probability of passing each test is $0.3$. Find the probability that the student passes on the 4th attempt.

解析

$$P(X = 4) = (1 - 0.3)^3 \cdot 0.3 = 0.7^3 \cdot 0.3 \approx 0.1029$$

坑点

• 确认$p$为成功概率，避免混淆失败概率。

5. 2024年5月/6月卷（9709/52/F/M/24 Q5）

（注：题目内容参考近年趋势模拟）
题目
The probability that a light bulb is faulty is $0.1$. Bulbs are tested until a faulty one is found. Find the expected number of bulbs tested.

解析
期望$E(X) = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.1} = 10$。

坑点

• 直接应用期望公式，避免与方差公式混淆。

三、常见坑点

1. 混淆几何分布与二项分布

   • 几何分布关注首次成功的位置，二项分布关注固定次数内的成功次数。

2. 忽略$k$的起始值

   • 几何分布中$k$从1开始，如$P(X=3)$对应前2次失败，第3次成功。

3. 参数估计错误

   • 解方程时需正确联立$p$和$q$的关系，如$q = 1 - p$。

4. 无记忆性的误用

   • 条件概率$P(X > m + n \mid X > m)$应等于$P(X > n)$，而非直接相乘。

四、复习建议

1. 公式强化

   • 熟练掌握PMF、CDF、期望和方差公式，通过例题巩固记忆。

2. 情境应用

   • 练习不同场景下的建模，如产品质检、游戏通关等，提高问题转化能力。

3. 无记忆性专项训练

   • 理解无记忆性的数学表达和实际意义，通过条件概率题目加深理解。

4. 真题实战

   • 限时完成近五年真题，重点分析错题，总结解题套路。

5. 易错点整理

   • 整理联立方程、参数估计等高频错误，制作错题本强化记忆。

五、公式速查表

项目	公式
PMF	$P(X = k) = (1-p)^{k-1}p$
CDF	$P(X \leq k) = 1 - (1-p)^k$
期望	$E(X) = \frac{1}{p}$
方差	$V(X) = \frac{1-p}{p^2}$
无记忆性	$P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)$