【A-Level】CIE S1二项分布与几何分布如何区分

在CIE Alevel数学S1中，几何分布（Geometric Distribution）和二项分布（Binomial Distribution）是最易混淆的两种离散概率分布，核心区别在于试验目的和随机变量的定义。以下从核心定义、关键维度对比、判断步骤、典型例题四个层面全面解析如何区分，适配S1考试场景。

一、核心定义：先明确“本质差异”

两种分布均基于独立重复试验（Independent Bernoulli Trials） ，即每次试验只有“成功（Success）”和“失败（Failure）”两种结果，且每次成功概率均为 $ p $（失败概率 $ q=1-p $），但研究的核心问题完全不同：

分布类型	核心目的	随机变量 $ X $ 的定义
几何分布	研究“首次成功所需的试验次数”（或“首次成功前的失败次数”，S1中以“试验次数”为主）	$ X \sim \text{Geo}(p) $：首次成功时的试验次数
二项分布	研究“固定试验次数下的成功次数”	$ X \sim \text{B}(n,p) $：n次试验中的成功数

二、关键维度对比：表格化清晰区分

从S1考试常考的参数、概率公式、期望方差、取值范围、图像特征等维度对比，一目了然：

对比维度	几何分布 $ X \sim \text{Geo}(p) $	二项分布 $ X \sim \text{B}(n,p) $
核心参数	仅1个参数：成功概率 $ p $（试验次数不固定）	2个参数：试验总次数 $ n $、成功概率 $ p $（次数固定）
随机变量取值	$ X = 1,2,3,\dots $（可无限取值，因为可能多次失败才首次成功）	$ X = 0,1,2,\dots,n $（有限取值，最多成功n次）
概率公式	首次成功在第k次：$ P(X=k) = q^{k-1}p $（前k-1次失败，第k次成功）	n次中成功k次：$ P(X=k) = \binom{n}{k}p^kq^{n-k} $（组合数体现选择）
期望 $ E(X) $	$ \frac{1}{p} $（成功概率越小，期望试验次数越多）	$ np $（成功次数的平均值与试验总数成正比）
方差 $ \text{Var}(X) $	$ \frac{q}{p^2} $	$ npq $
图像特征	概率随k增大而单调递减（因为 $ q<1 $，$ q^{k-1} $ 越来越小）	概率先增后减，呈“钟形”（中间值概率最大，两端递减）
典型场景	- 抛硬币直到首次出现正面的次数 - 投篮直到首次命中的次数	- 抛10次硬币正面出现的次数 - 50道选择题（随机猜）做对的题数

三、S1考试“三步判断法”：实战应用

在真题中遇到分布判断问题时，按以下步骤快速定位：

步骤1：看“试验次数是否固定”

• 若题目明确给出“固定试验次数”（如“5次试验”“10次抛硬币”），优先考虑二项分布；
• 若题目未固定次数，而是问“直到首次成功的次数”，优先考虑几何分布。

步骤2：看“随机变量的含义”

• 若随机变量是“成功的个数”（如“成功3次”“对了5题”），→ 二项分布；
• 若随机变量是“首次成功的试验次数”（如“第4次才成功”“直到第6次首次命中”），→ 几何分布。

步骤3：验证“独立重复试验”前提

两种分布均需满足“独立、每次p恒定”，若不满足（如p变化、试验不独立），则均不适用。

四、S1真题实例解析：巩固区分

结合CIE真题场景，直观感受判断过程：

例1：几何分布真题（9709/w20/qp32 Q6）

题目：A fair coin is tossed repeatedly. Find the probability that the first head occurs on the 4th toss.
分析：未固定试验次数，问“首次正面（成功）出现在第4次”，随机变量是“首次成功的试验次数”→ 几何分布。
计算：$ p=0.5 $，$ P(X=4) = (0.5)^3 \times 0.5 = (0.5)^4 = 1/16 $。

例2：二项分布真题（9709/s21/qp31 Q5）

题目：A student answers 8 multiple-choice questions, each with 4 options. Assume the student guesses randomly. Find the probability that the student gets exactly 3 correct answers.
分析：固定试验次数 $ n=8 $，随机变量是“正确答案的个数”→ 二项分布。
计算：$ p=1/4 $，$ P(X=3) = \binom{8}{3}(1/4)^3(3/4)^5 = 56 \times 1/64 \times 243/1024 ≈ 0.2076 $。

五、S1考试常见“坑点”提醒

1. 几何分布的定义混淆：
   部分教材中几何分布有两种定义（“首次成功的试验次数”vs“首次成功前的失败次数”），CIE S1中统一为“试验次数”（即 $ X≥1 $），若误按“失败次数”（$ X≥0 $）计算，会导致概率公式错误（如误写为 $ q^kp $）。

2. 二项分布的“固定n”陷阱：
   题目若未明确“固定次数”，即使提到“成功次数”也可能不是二项分布。例如：“投篮直到投中3次，求投10次的概率”→ 这是负二项分布，而非二项分布（因n不固定）。

3. 参数p的“恒定”判断：
   若试验中p随次数变化（如“不放回抽样”），则不满足两种分布的前提。例如：“从5红3白中抽2次，求红球数”→ 因不放回，p变化，不服从二项分布（需用超几何分布）。

六、复习建议

1. 抓核心特征：牢记“几何看‘首次成功的次数’，二项看‘固定次数的成功数’”，通过10道以上真题强化判断条件。
2. 对比公式记忆：重点区分概率公式（几何无组合数，二项有组合数）和期望方差（几何与1/p相关，二项与np相关）。
3. 错题归类：将错题按“判断错误”“公式用错”“参数找错”分类，针对性弥补薄弱点。

七、总结

两种分布的本质区别是试验目的：

• 想知道“第几次才成功”→ 几何分布；
• 想知道“n次里成功几次”→ 二项分布。
  只要在审题时先明确“是否固定试验次数”和“随机变量的含义”，就能快速准确区分。

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以下是2020-2024年CIE A-Level数学S1中有关二项分布(Binomial Distribution) 和 几何分布(Geometric Distribution) 的真题整理，包含题目、解析及易错点分析。题目标注年份和试卷代码，解析使用中文并附Latex公式，适配Markdown格式。

八、二项分布真题

1. 2020年5月/6月卷（9709/51/M/J/20 Q4）

题目
A fair die is rolled 12 times. Find the probability that a 6 appears exactly 3 times.

解析
设$X$表示12次试验中6出现的次数，则$X \sim \text{Bin}\left(12, \frac{1}{6}\right)$。

$$P(X = 3) = \binom{12}{3} \left(\frac{1}{6}\right)^3 \left(\frac{5}{6}\right)^9 \approx 0.197$$

坑点：组合数$\binom{12}{3}$需正确计算，避免遗漏。

2. 2021年10月/11月卷（9709/51/O/N/21 Q3）

题目
The probability that a student passes a driving test is 0.3. If 10 students take the test, find the probability that at least 4 pass.

解析
设$X \sim \text{Bin}(10, 0.3)$，求$P(X \geq 4)$：

$$P(X \geq 4) = 1 - P(X \leq 3) = 1 - \left[ \binom{10}{0}(0.3)^0(0.7)^{10} + \dots + \binom{10}{3}(0.3)^3(0.7)^7 \right] \approx 0.3504$$

坑点：“至少4次”需用1减去前4项和，避免直接计算$P(X=4)$。

3. 2022年5月/6月卷（9709/52/F/M/22 Q3）

题目
A factory produces components where 5% are defective. A sample of 20 components is taken. Find the probability that exactly 2 are defective.

解析
设$X \sim \text{Bin}(20, 0.05)$，则：

$$P(X = 2) = \binom{20}{2}(0.05)^2(0.95)^{18} \approx 0.1887$$

坑点：成功概率$p=0.05$，失败概率$q=0.95$，避免颠倒。

4. 2023年10月/11月卷（9709/51/O/N/23 Q2）

题目
The probability that a seed germinates is 0.8. A gardener plants 8 seeds. Find the probability that at most 6 germinate.

解析
设$X \sim \text{Bin}(8, 0.8)$，求$P(X \leq 6)$：

$$P(X \leq 6) = 1 - P(X = 7) - P(X = 8) = 1 - \left[ \binom{8}{7}(0.8)^7(0.2)^1 + \binom{8}{8}(0.8)^8 \right] \approx 0.4967$$

坑点：“at most 6”需包含$X=0$到$X=6$，直接计算较繁琐，建议用补集。

5. 2024年5月/6月卷（9709/52/F/M/24 Q4）

题目
A survey shows that 30% of people prefer coffee. A random sample of 15 people is taken. Find the probability that exactly 5 prefer coffee.

解析
设$X \sim \text{Bin}(15, 0.3)$，则：

$$P(X = 5) = \binom{15}{5}(0.3)^5(0.7)^{10} \approx 0.2061$$

坑点：组合数$\binom{15}{5}$需用计算器验证，避免计算错误。

九、几何分布真题

1. 2020年10月/11月卷（9709/51/O/N/20 Q2）

题目
A fair coin is tossed repeatedly. Find the probability that the first head occurs on the 4th toss.

解析
设$X$表示首次成功的试验次数，则$X \sim \text{Geo}\left(\frac{1}{2}\right)$。

$$P(X = 4) = \left(1 - \frac{1}{2}\right)^3 \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$$

坑点：$k=4$对应前3次失败，第4次成功，避免直接计算$(1-p)^4$。

2. 2021年5月/6月卷（9709/51/M/J/21 Q1）

题目
The probability that a biased coin lands on heads is $p$. The coin is tossed until it lands on heads. Given that the probability the first head occurs on the 2nd toss is $\frac{3}{16}$, find $p$.

解析
由题意：

$$P(X = 2) = (1-p)p = \frac{3}{16} \implies p - p^2 = \frac{3}{16} \implies 16p^2 - 16p + 3 = 0$$

解得$p = \frac{1}{4}$或$p = \frac{3}{4}$，但$p$需满足$0 < p < 1$，故$p = \frac{1}{4}$。
坑点：解方程时需展开正确，避免符号错误。

3. 2022年10月/11月卷（9709/52/O/N/22 Q3）

题目
A company tests components until a defective one is found. The probability of a defective component is 0.1. Find the probability that the first defective is found before the 5th test.

解析
设$X \sim \text{Geo}(0.1)$，求$P(X \leq 4)$：

$$P(X \leq 4) = 1 - (1 - 0.1)^4 = 1 - 0.9^4 \approx 0.3439$$

坑点：“before the 5th”即前4次中至少一次成功，避免误用$P(X \leq 5)$。

4. 2023年5月/6月卷（9709/51/M/J/23 Q1）

题目
A student takes a quiz with multiple-choice questions. The probability of answering a question correctly is 0.2. Find the probability that the first correct answer occurs on the 3rd question.

解析
设$X \sim \text{Geo}(0.2)$，则：

$$P(X = 3) = (0.8)^2 \cdot 0.2 = 0.128$$

坑点：确认$p$为成功概率，避免混淆失败概率。

5. 2024年10月/11月卷（9709/52/O/N/24 Q2）

题目
The probability that a machine produces a faulty item is 0.03. Find the expected number of items produced until the first faulty one.

解析
期望$E(X) = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.03} \approx 33.33$。
坑点：直接应用几何分布期望公式，避免与方差混淆。

十、高频易错点总结

1. 二项分布参数混淆

   • 确认$n$（试验次数）和$p$（成功概率）是否正确，如“缺陷率5%”对应$p=0.05$。

2. 几何分布起始值

   • $X$从1开始，如$P(X=3)$表示前2次失败，第3次成功。

3. 条件概率误用

   • 二项分布中“至少/至多”需用补集或累积和，几何分布中“首次成功前”需正确截断。

4. 组合数计算

   • 使用计算器验证组合数，如$\binom{20}{2} = 190$，避免手工计算错误。

十一、复习建议

1. 公式强化

   • 二项分布：$P(X=k) = \binom{n}{k}p^kq^{n-k}$，几何分布：$P(X=k) = q^{k-1}p$。

2. 情境建模

   • 练习将实际问题转化为分布模型，如“种子发芽”对应二项分布，“首次成功”对应几何分布。

3. 真题实战

   • 限时完成近五年真题，重点分析错题，总结解题套路（如补集法、联立方程）。

4. 计算器技巧

   • 熟练使用计算器计算组合数和累积概率（如$\text{binomcdf}$和$\text{geometcdf}$函数）。

十二、公式速查表

分布类型	概率公式	期望	方差
二项分布	$P(X=k) = \binom{n}{k}p^kq^{n-k}$	$E(X) = np$	$V(X) = npq$
几何分布	$P(X=k) = q^{k-1}p$	$E(X) = \frac{1}{p}$	$V(X) = \frac{q}{p^2}$

通过系统练习真题并规避常见错误，可显著提升二项分布和几何分布模块的应试能力。建议结合CIE官方大纲和最新真题动态调整复习策略。