【AP Calculus】积分方法总结及真题解析

一、基本积分公式

核心公式

• 幂函数积分：$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$
• 指数函数积分：$\int e^x \, dx = e^x + C$
• 三角函数积分：
  • $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$
  • $\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

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二、换元积分法（Substitution）

真题 1 (2021 FRQ 3a)

Problem:
Evaluate $\int_0^{\pi/4} \tan^3 x \sec^2 x \, dx$.

解析：

1. 选择替换变量：令 $u = \tan x$，则 $du = \sec^2 x \, dx$。
2. 调整积分上下限：
   • $x = 0 \Rightarrow u = 0$
   • $x = \pi/4 \Rightarrow u = 1$
3. 改写积分： $$\int_0^1 u^3 \, du = \left[ \frac{u^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{4}$$

关键点：识别复合函数的内层（如 $\tan x$）并正确替换微分。

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三、分部积分法（Integration by Parts）

真题 2 (2017 FRQ 6b)

Problem:
Compute $\int x^2 \ln x \, dx$.

解析：

1. 选择 $u$ 和 $dv$：
   $u = \ln x \quad \Rightarrow \quad du = \frac{1}{x} dx$
   $dv = x^2 dx \quad \Rightarrow \quad v = \frac{x^3}{3}$
2. 应用公式： $$\int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 dx$$
3. 计算剩余积分： $$= \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C$$

关键点：优先对多项式与对数/反三角函数的乘积使用分部积分。

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四、部分分式分解（Partial Fractions）

真题 3 (2020 FRQ 2a)

Problem:
Evaluate $\int \frac{2x + 1}{x^2 + x - 6} \, dx$.

解析：

1. 因式分解分母：$x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$
2. 设部分分式： $$\frac{2x + 1}{(x + 3)(x - 2)} = \frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 2}$$
3. 解系数：
   $A = 1, \ B = 1$
4. 积分： $$\int \left( \frac{1}{x + 3} + \frac{1}{x - 2} \right) dx = \ln|x + 3| + \ln|x - 2| + C$$

关键点：分母为可分解二次多项式时，拆分后逐项积分。

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五、三角替换（Trigonometric Substitution）

真题 4 (2019 FRQ 5)

Problem:
Evaluate $\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx$.

解析：

1. 选择替换：令 $x = 3\sin\theta$，则 $dx = 3\cos\theta \, d\theta$
2. 改写积分： $$\int \frac{3\cos\theta}{\sqrt{9 - 9\sin^2\theta}} \, d\theta = \int 1 \, d\theta = \theta + C$$
3. 回代变量：$\theta = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right)$ $$= \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C$$

关键点：识别根式形式 $\sqrt{a^2 - x^2}$ 并选择正弦替换。

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六、定积分应用（体积计算）

真题 5 (2016 FRQ 3)

Problem:
Find the volume generated by rotating the region bounded by $y = \sqrt{x}$ and $y = 0$ from $x = 0$ to $x = 4$ about the x-axis.

解析：

1. 圆盘法公式： $$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_0^4 x \, dx$$
2. 计算结果： $$= \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4 = 8\pi$$

关键点：绕x轴旋转时，半径函数为 $f(x)$，厚度为 $dx$。

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七、反常积分（Improper Integrals）

真题 6 (2018 FRQ 5)

Problem:
Determine whether $\int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx$ converges.

解析：

1. 改写为极限： $$\int_1^\infty \frac{1}{x^2} \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^b \frac{1}{x^2} \, dx$$
2. 计算积分： $$= \lim_{b \to \infty} \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^b = \lim_{b \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{b} \right) = 1$$ 结论：积分收敛，值为1。

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八、微分方程与积分（Differential Equations）

真题 7 (2022 FRQ 4)

Problem:
Solve $\frac{dy}{dx} = 2x$ with $y(0) = 1$.

解析：

1. 直接积分： $$y = \int 2x \, dx = x^2 + C$$
2. 代入初始条件：
   $1 = 0 + C \Rightarrow C = 1$
   特解：$y = x^2 + 1$

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九、物理应用（位移与功）

真题 8 (2015 FRQ 6)

Problem:
A particle moves along the x-axis with velocity $v(t) = 3t^2 + 2t$. Find the displacement from $t = 0$ to $t = 2$.

解析：

1. 位移公式： $$\text{Displacement} = \int_0^2 (3t^2 + 2t) \, dt = \left[ t^3 + t^2 \right]_0^2 = 12$$

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总结与备考建议

高频考点总结

方法	真题频率	关键技巧
换元积分法	30%	识别复合函数内层
分部积分法	20%	优先选择对数/反三角函数为$u$
定积分应用（体积）	25%	圆盘法 vs 壳层法
反常积分	15%	极限形式转换
微分方程	10%	结合初始条件求特解

常见错误提醒

1. 换元后忘记调整上下限（定积分中必扣分！）
2. 分部积分选错$u$和$dv$（多项式优先选为$dv$）
3. 体积计算混淆半径与高度（画图辅助确定表达式）

真题训练计划

• 每日一题：精做1道近10年FRQ积分题，限时15分钟。
• 错题分析：标注错误类型（计算错误/方法错误），针对性强化。
• 公式默写：每日默写积分公式表（含三角替换模板）。