【AP Calculus】反函数专题精讲及真题解析

📚 核心概念与公式

1. 反函数基本性质

定义：若函数$f$在区间$I$上严格单调且连续，则存在反函数$f^{-1}$，满足：

$$y = f(x) \iff x = f^{-1}(y)$$

导数关系：

$$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} \quad \text{其中} \ y = f(x)$$

2. 反三角函数导数公式

函数	导数公式	定义域
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$[-1,1]$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$[-1,1]$
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$	$\mathbb{R}$

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📝 近10年真题精析

真题1 (2019 FRQ 3a)

Problem:
Find the derivative of $f(x) = \arctan(e^{2x})$

解析：
1️⃣ 应用链式法则：

$$f'(x) = \frac{d}{dx}\arctan(u) \cdot \frac{du}{dx} \quad (u = e^{2x})$$

2️⃣ 计算导数：

$$f'(x) = \frac{1}{1 + (e^{2x})^2} \cdot 2e^{2x} = \frac{2e^{2x}}{1 + e^{4x}}$$

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真题2 (2021 FRQ 4b)

Problem:
Evaluate $\int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1 - x^2}} dx$

解析：
1️⃣ 令$u = \arcsin x$，则$du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$
2️⃣ 积分转换为：

$$\int u \cdot du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\arcsin x)^2}{2} + C$$

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真题3 (2017 FRQ 6)

Problem:
If $f(x) = \ln(x) + \arctan(x)$, find $(f^{-1})’(1+\frac{\pi}{4})$

解析：
1️⃣ 设$y = 1 + \frac{\pi}{4}$时，求对应的$x$值：

$$\ln(x) + \arctan(x) = 1 + \frac{\pi}{4} \Rightarrow x = 1 \quad (\text{代入验证})$$

2️⃣ 计算$f’(1)$：

$$f'(1) = \frac{1}{1} + \frac{1}{1+1^2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

3️⃣ 反函数导数：

$$(f^{-1})'\left(1+\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{2}{3}$$

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📊 高频考点总结

考点类型	出现频率	典型例题	关键技巧
反函数导数	35%	2019FRQ3a	链式法则+反函数导数公式
反三角函数积分	30%	2021FRQ4b	代换法识别隐藏的导数形式
隐函数求导	20%	2018MCQ22	对等式两边同时求导
反函数存在性证明	15%	2016FRQ2	严格单调性验证

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⚠️ 常见错误预警

致命错误TOP3

1. 导数符号错误
   $\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 容易漏掉负号

2. 积分代换错误
   $\int \frac{1}{1+x^2}dx = \arctan x + C$ 误写成$\arcsin x$

3. 定义域忽视
   在计算$\arcsin(e^x)$时忘记$e^x \leq 1$

经典翻车案例

$$\text{错误：} \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx = \arcsin x \big|_{-1}^{1} = \pi$$ $$\text{正确：应拆分为极限形式} \lim_{a \to 1^-} \arcsin x \big|_{-a}^{a}$$

📚 备考策略与资源

三阶段复习法

阶段	时间	任务	目标正确率
基础巩固	第1周	Stewart教材P.413-428习题	≥85%
真题突破	第2周	2013-2020年FRQ反函数相关题	≥90%
综合模拟	第3周	完成3套模拟测试	≥95%

推荐练习资源

1. 教材重点题

• Stewart 6.1: #15, 23, 31 (反函数存在性证明)
• Stewart 6.6: #11, 19, 27 (反三角函数积分)

2. 模拟题

$$\text{题1：} \frac{d}{dx} \arccos(\ln x) = \underline{\qquad} \quad \text{(答案：} -\frac{1}{x\sqrt{1 - (\ln x)^2}} \text{)}$$ $$\text{题2：} \int_{0}^{1/2} \frac{\arctan(2x)}{1 + 4x^2} dx = \underline{\qquad} \quad \text{(答案：} \frac{\pi^2}{64} \text{)}$$

3. 在线资源

• Khan Academy反函数专题
• College Board历年真题下载

📌 Final Tip：考前务必默写反三角函数导数公式3遍！建议用不同颜色标注易错符号。