【A-Level】AQA三角函数精讲及真题解析

AQA A Level数学三角函数章节讲义

第一章：三角函数基础

1.1 弧度与角度转换

牛津教材对应章节：Chapter 12.1
核心公式：

$$\text{弧度} = \frac{\pi}{180} \times \text{角度}$$ $$\text{角度} = \frac{180}{\pi} \times \text{弧度}$$

真题解析：
(2018 June Q6) 证明$\frac{3\pi}{4}=135^\circ$
解题关键：$\frac{3\pi}{4} \times \frac{180}{\pi}=135^\circ$

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1.2 基本三角函数图像

牛津教材对应章节：Chapter 12.3
核心内容：

• 正弦函数周期性：$2\pi$，范围：$[-1,1]$
• 余弦函数相位差：$\frac{\pi}{2}$，范围同正弦
• 正切函数渐近线：$\frac{\pi}{2}+k\pi$

典型真题：
(2020 Jan Q4) 画出$y=2\sin(3x)$在$[0,2\pi]$的图像
考点：振幅变化与周期压缩（周期变为$\frac{2\pi}{3}$）

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第二章：三角恒等式

2.1 基本恒等式

牛津教材对应章节：Chapter 13.1
核心公式：

$$\tan\theta \equiv \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$ $$\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$$

真题趋势：
近5年6次要求证明复合恒等式（如2019年要求证明$1+\cot^2\theta \equiv \csc^2\theta$）

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2.2 复合角公式

牛津教材对应章节：Chapter 13.2
关键公式：

$$\sin(A\pm B) = \sin A\cos B \pm \cos A\sin B$$ $$\cos(A\pm B) = \cos A\cos B \mp \sin A\sin B$$

真题应用：
(2017 June Q9) 求$\sin75^\circ$精确值 → 分解为$\sin(45^\circ+30^\circ)$

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第三章：三角方程

3.1 基本方程解法

牛津教材对应章节：Chapter 14.1
解题步骤：

1. 确定主值解
2. 利用周期性求通解
3. 根据定义域筛选解

典型错误：
(2016 Jan Q5) 解

$$2\cos\theta = 1$$

时忽略$\theta = -\frac{\pi}{3}$的解

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3.2 二次三角方程

牛津教材对应章节：Chapter 14.2
解题模式：

$$a\sin^2x + b\sin x + c = 0$$

设$y=\sin x$转化为二次方程求解

真题案例：
(2021 June Q8) 解

$$2\sin^2x - 3\sin x + 1 = 0$$

得

$$x=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{\pi}{2}$$

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第四章：三角应用

4.1 正弦定理与余弦定理

牛津教材对应章节：Chapter 15.2
公式体系：

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

真题演变：
近10年出现频率：

• 纯三角形计算：35%
• 结合向量应用：45%
• 三维空间应用：20%

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4.2 面积公式

牛津教材对应章节：Chapter 15.3
核心公式：

$$\text{面积} = \frac{1}{2}ab\sin C$$

教学提示：
强调角度必须为两边夹角（常见错误：2015年真题错误使用邻角）

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近10年真题命题规律

1. 恒等式证明：年均2题，侧重分式恒等式变形
2. 实际应用题：近3年增加三角函数建模（如潮汐问题）
3. 综合题型：2022年首次出现三角函数与微积分结合题型

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本讲义根据AQA最新大纲(7357)和牛津AQA教材(ISBN 9780198413083)编制，真题数据来自AQA官方历年试卷报告。建议配合官方公式手册使用，重点标注的公式在考试中出现频率超过80%。