课程总览：本课程整合了纯数学与统计学内容，涵盖矩阵、线性图、数值方法以及高级概率分布，旨在培养学生的数学建模与概率思维能力。
总课时：12课时/24H
| 课时 | 模块 | 主题 | 主要内容与学习目标 | 核心知识点与公式 |
|---|---|---|---|---|
| 1-2 | FPP1.1: 矩阵与变换 | 矩阵代数基础 | 1. 矩阵的定义、维数与表示方法 2. 矩阵的加法、减法与数乘运算 3. 矩阵乘法运算规则与性质 | 矩阵乘法： $ C = AB $，其中 $ c{ij} = \sum{k=1}^{n} a{ik}b{kj} $ 注意：矩阵乘法不满足交换律 |
| 3-4 | FPP1.1: 矩阵与变换 | 矩阵的逆与行列式 | 1. 逆矩阵的定义与性质 2. $ 2 \times 2 $ 矩阵的行列式与逆矩阵公式 3. 奇异矩阵与非奇异矩阵的概念 | 行列式：$ \det(A) = ad - bc $ 逆矩阵：$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix} $ |
| 5-6 | FPP1.1: 矩阵与变换 | 线性变换与几何应用 | 1. 矩阵表示线性变换 2. 旋转、反射、放大与错切变换矩阵 3. 变换的复合与矩阵乘法的关系 | 旋转变换： $ \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} $ 反射变换：关于直线 $ y = x\tan\theta $ |
| 7-8 | FPP1.1: 矩阵与变换 | 特征值与特征向量 | 1. 特征值与特征向量的定义与几何意义 2. 求解 $ 2 \times 2 $ 矩阵的特征值与特征向量 3. 特征值与行列式的关系 | 特征方程：$ \det(A - \lambda I) = 0 $ 特征向量：$ (A - \lambda I)\mathbf{v} = \mathbf{0} $ |
| 9-10 | FPP1.2: 线性图 | 线性规划基础 | 1. 线性规划问题的数学模型 2. 在二维平面上表示不等式约束 3. 确定可行区域 | 约束条件： $ ax + by \leq c $，$ x \geq 0 $，$ y \geq 0 $ |
| 11-12 | FPP1.2: 线性图 | 线性规划求解 | 1. 目标函数的概念与表示 2. 通过顶点检验法求解最优解 3. 应用问题建模与求解 | 最优解：在可行区域的顶点处取得 检验方法：计算各顶点目标函数值 |
| 13-14 | FPP1.3: 数值方法 | 方程求根方法 | 1. 二分法原理与迭代步骤 2. 线性插值法求根 3. 方法的收敛性与精度比较 | 二分法：每次迭代区间减半 线性插值：利用弦截法近似求根 |
| 15-16 | FPP1.3: 数值方法 | 牛顿-拉弗森法 | 1. 牛顿-拉弗森迭代公式推导 2. 几何解释与收敛性分析 3. 应用实例与误差分析 | 迭代公式：$ x{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f’(x_n)} $ 收敛条件：$\vert x{n+1} - x_n \vert < \varepsilon $ |
| 17-18 | FS1.1: 贝叶斯定理 | 条件概率与贝叶斯定理 | 1. 条件概率定义与性质 2. 全概率公式 3. 贝叶斯定理的推导与应用 | 贝叶斯定理： $ P(A \vert B) = \frac{P(B \vert A)P(A)}{P(B)} $ 全概率公式：$ P(B) = \sum P(B \vert A_i)P(A_i) $ |
| 19-20 | FS1.2: 均匀分布 | 连续均匀分布 | 1. 连续均匀分布的定义与性质 2. 概率密度函数与累积分布函数 3. 期望与方差的计算 | PDF：$ f(x) = \frac{1}{b-a} $，$ a \leq x \leq b $ 期望：$ E(X) = \frac{a+b}{2} $ 方差：$ Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 21-22 | FS1.3: 几何分布 | 几何分布基础 | 1. 几何分布的定义与应用场景 2. 概率质量函数与累积分布函数 3. 无记忆性性质 | PMF：$ P(X=k) = (1-p)^{k-1}p $，$ k = 1,2,3,\ldots $ 期望：$ E(X) = \frac{1}{p} $ 方差：$ Var(X) = \frac{1-p}{p^2} $ |
| 23 | FS1.4: 概率生成函数 | 概率生成函数基础 | 1. 概率生成函数的定义与性质 2. 常见离散分布的概率生成函数 3. 利用概率生成函数求期望与方差 | PGF定义：$ GX(t) = E(t^X) = \sum{k=0}^{\infty} P(X=k)t^k $ 期望：$ E(X) = G’_X(1) $ 方差：$ Var(X) = G’’_X(1) + G’_X(1) - [G’_X(1)]^2 $ |
| 24 | FS1.5: 离散随机变量的线性组合 | 随机变量的线性组合 | 1. 独立随机变量线性组合的期望与方差 2. 协方差与相关系数 3. 两个随机变量之和的分布 | 线性组合： $ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) $ $ Var(aX + bY) = a^2Var(X) + b^2Var(Y) + 2abCov(X,Y) $ 协方差：$ Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) $ |
💡 教学策略与备考建议
理论与实践结合：FPSM1课程既有抽象的数学概念（如矩阵变换），又有实际应用（如线性规划、概率模型）。教学时应注重从具体实例引入抽象概念，增强学生的直观理解。
跨模块联系：注意课程内容之间的内在联系，如：
- 矩阵变换与线性图的几何直观
- 数值方法与概率计算的实际应用
- 不同概率分布之间的联系与区别
计算能力培养：数值方法、矩阵运算、概率计算等部分对计算准确性和熟练度要求很高，应安排足够的练习时间，特别是：
- 矩阵乘法的熟练运用
- 牛顿-拉弗森法的迭代计算
- 概率生成函数的求导运算
建模思维训练：线性规划和概率应用部分强调数学建模能力，教学中应注重：
- 实际问题的数学抽象过程
- 模型假设的合理性与局限性
- 结果的解释与实际意义
真题导向复习：定期进行真题训练，特别关注：
- 综合题的解题思路与步骤
- 证明题的逻辑严谨性
- 应用题的模型建立过程
