课程总览：本课程深入探讨高阶纯数学概念，涵盖多项式理论、复数、极坐标、证明方法、微积分应用、微分方程及三维几何，培养学生的高级数学思维与分析能力。
| 课时 | 模块 | 主题 | 主要内容与学习目标 | 核心知识点与公式 |
|---|---|---|---|---|
| 1-2 | FP2.1: 根与多项式 | 多项式基本定理 | 1. 多项式的基本概念与性质 2. 代数基本定理 3. 复根成对出现定理 | 代数基本定理：n次多项式恰有n个复根（计入重数） 实系数多项式：非实复根必成对共轭出现 |
| 3-4 | FP2.1: 根与多项式 | 韦达定理推广 | 1. 高次多项式的韦达定理 2. 根与系数的关系 3. 对称多项式理论 | 三次方程：$ ax^3+bx^2+cx+d=0 $，根为 $ \alpha,\beta,\gamma $ $ \alpha+\beta+\gamma = -\frac{b}{a} $，$ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = \frac{c}{a} $，$ \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a} $ |
| 5-6 | FP2.2: 德莫弗定理 | 复数极式与德莫弗定理 | 1. 复数极式回顾与深化 2. 德莫弗定理陈述与证明 3. 定理的简单应用 | 德莫弗定理：$ [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) $ |
| 7-8 | FP2.2: 德莫弗定理 | 德莫弗定理应用 | 1. 求复数的n次方根 2. 用德莫弗定理表示 $ \cos n\theta $ 和 $ \sin n\theta $ 3. 切比雪夫多项式简介 | n次方根：$ z^n = w $ 有n个不同的解 倍角公式：$ \cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta $ |
| 9-10 | FP2.3: 极坐标 | 极坐标系基础 | 1. 极坐标 $ (r,\theta) $ 与直角坐标转换 2. 常见曲线的极坐标方程 3. 极坐标下的曲线绘制 | 坐标转换：$ x = r\cos\theta $，$ y = r\sin\theta $ $ r^2 = x^2+y^2 $，$ \theta = \arctan(\frac{y}{x}) $ |
| 11-12 | FP2.3: 极坐标 | 极坐标微积分 | 1. 极坐标曲线的切线 2. 极坐标下的面积计算 3. 极坐标曲线围成的区域面积 | 面积公式：$ A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta $ 切线斜率：$ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta}{\frac{dr}{d\theta}\cos\theta - r\sin\theta} $ |
| 13-14 | FP2.4: 数学归纳法 | 数学归纳法原理 | 1. 数学归纳法原理与步骤 2. 求和公式的证明 3. 整除性问题的证明 | 归纳步骤： 1. 基础步：验证 $ n=1 $ 成立 2. 归纳假设：假设 $ n=k $ 成立 3. 归纳步：证明 $ n=k+1 $ 成立 |
| 15-16 | FP2.4: 数学归纳法 | 数学归纳法应用 | 1. 不等式证明 2. 矩阵等式的归纳证明 3. 递归定义的序列性质证明 | 难点：在归纳步骤中构造出所需形式 |
| 17-18 | FP2.5: 有限级数 | 高阶求和公式 | 1. $ \sum r^4 $, $ \sum r^5 $ 等公式推导 2. 差分求和方法 3. 部分分式在求和中的应用 | 差分法：$ \sum_{r=1}^{n} [f(r)-f(r-1)] = f(n)-f(0) $ |
| 19-20 | FP2.6: 级数与极限 | 无穷级数收敛性 | 1. 级数收敛与发散的概念 2. 常见收敛判别法 3. 幂级数简介 | 比较判别法、比值判别法 p-级数：$ \sum \frac{1}{n^p} $ 在 $ p>1 $ 时收敛 |
| 21-22 | FP2.6: 级数与极限 | 极限计算技巧 | 1. 洛必达法则回顾与深化 2. 泰勒级数在极限计算中的应用 3. 不定式极限 | 洛必达法则：$ \lim{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim{x\to a} \frac{f’(x)}{g’(x)} $ |
| 23-24 | FP2.7: 反三角函数微积分 | 反三角函数导数 | 1. 反三角函数的定义与性质 2. 反三角函数的导数公式 3. 相关积分计算 | 导数公式： $ \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $ $ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2} $ |
| 25-26 | FP2.7: 反三角函数微积分 | 反三角函数积分 | 1. 涉及反三角函数的积分技巧 2. 三角代换法 3. 积分表的应用 | 积分公式： $ \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin(\frac{x}{a}) + C $ $ \int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan(\frac{x}{a}) + C $ |
| 27-28 | FP2.8: 弧长与旋转曲面面积 | 弧长计算 | 1. 直角坐标系下的弧长公式 2. 参数方程下的弧长公式 3. 极坐标下的弧长公式 | 弧长公式： 直角坐标：$ L = \int_a^b \sqrt{1+[f’(x)]^2} dx $ 参数方程：$ L = \int_a^b \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} dt $ |
| 29-30 | FP2.8: 弧长与旋转曲面面积 | 旋转曲面面积 | 1. 绕x轴旋转的曲面面积 2. 绕y轴旋转的曲面面积 3. 参数方程表示的曲线旋转面积 | 旋转面积： 绕x轴：$ S = 2\pi \int_a^b y\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx $ 绕y轴：$ S = 2\pi \int_c^d x\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2} dy $ |
| 31-32 | FP2.9: 双曲函数 | 双曲函数定义与性质 | 1. 双曲函数的定义 2. 双曲函数的基本恒等式 3. 双曲函数与三角函数的类比 | 定义： $ \sinh x = \frac{e^x-e^{-x}}{2} $，$ \cosh x = \frac{e^x+e^{-x}}{2} $ 恒等式：$ \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1 $ |
| 33-34 | FP2.9: 双曲函数 | 双曲函数微积分 | 1. 双曲函数的导数 2. 双曲函数的积分 3. 反双曲函数及其微积分 | 导数： $ \frac{d}{dx}(\sinh x) = \cosh x $，$ \frac{d}{dx}(\cosh x) = \sinh x $ 反函数导数：$ \frac{d(\sinh^{-1} x)}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $ |
| 35-36 | FP2.10: 一阶微分方程 | 可分离变量方程 | 1. 可分离变量微分方程 2. 齐次微分方程 3. 积分因子法 | 可分离变量：$ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $ 积分因子：对 $ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) $，积分因子为 $ e^{\int P(x)dx} $ |
| 37-38 | FP2.10: 一阶微分方程 | 一阶线性微分方程 | 1. 一阶线性微分方程标准形式 2. 积分因子法的系统应用 3. 伯努利方程简介 | 通解公式：$ y = e^{-\int P(x)dx} \left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx} dx + C \right] $ |
| 39-40 | FP2.11: 二阶微分方程 | 齐次二阶线性方程 | 1. 二阶常系数齐次线性微分方程 2. 特征方程法 3. 不同根情况下的通解形式 | 特征方程：$ a\lambda^2+b\lambda+c=0 $ 通解：实不等根：$ y=Ae^{\lambda_1 x}+Be^{\lambda_2 x} $ 重根：$ y=(A+Bx)e^{\lambda x} $ |
| 41-42 | FP2.11: 二阶微分方程 | 非齐次二阶线性方程 | 1. 非齐次方程的特解求法 2. 待定系数法 3. 通解结构：齐次通解+特解 | 待定系数法：根据非齐次项形式猜测特解形式 通解：$ y = y_c + y_p $ |
| 43-44 | FP2.12: 向量与三维坐标几何 | 空间向量运算 | 1. 三维向量表示与运算 2. 点积、叉积及其几何意义 3. 标量三重积与向量三重积 | 点积：$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \vert \mathbf{a}\vert \vert \mathbf{b}\vert \cos\theta $ 叉积：$ \mathbf{a}\times\mathbf{b} = \vert \mathbf{a}\vert \vert \mathbf{b}\vert \sin\theta\,\mathbf{n} $ |
| 45-46 | FP2.12: 向量与三维坐标几何 | 空间直线与平面 | 1. 空间直线的向量方程 2. 平面的点法式方程 3. 直线与平面的位置关系 | 直线方程：$ \mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} $ 平面方程：$ (\mathbf{r}-\mathbf{a})\cdot\mathbf{n}=0 $ |
| 47-48 | FP2.13 & FP2.14: 矩阵代数与线性方程组 | 矩阵运算与线性方程组 | 1. 高阶矩阵运算回顾 2. 高斯消元法解线性方程组 3. 矩阵的秩与解的存在性 | 解的情况： 唯一解：系数矩阵满秩 无穷多解：秩小于未知量个数 无解：系数矩阵秩小于增广矩阵秩 |
💡 教学策略与备考建议
概念深化与理论严谨性：FP2内容理论性更强，教学应注重概念的严格定义和定理的证明思路，培养学生的数学严谨性。
跨模块知识整合：FP2各模块联系紧密，教学中应强调：
- 德莫弗定理与三角恒等式、多项式根的联系
- 极坐标与微积分应用的结合
- 微分方程解法与矩阵理论的关联
证明能力培养：数学归纳法是FP2的重点和难点，需通过大量练习培养学生：
- 识别适用归纳法的问题
- 规范书写归纳证明的每一步
- 在归纳步骤中巧妙构造
计算技巧精炼：FP2涉及更复杂的计算，特别是：
- 复杂积分技巧的综合运用
- 微分方程的系统解法
- 三维几何中的向量运算
几何直观与代数表达结合：极坐标、三维几何等内容具有强烈的几何背景，教学中应充分利用几何直观帮助学生理解抽象的代数表达式。
真题导向的渐进式训练：FP2内容多且难，建议：
- 按模块分类练习基础题型
- 中期进行跨模块综合训练
- 后期全面模拟考试环境
本教学计划全面覆盖FP2考纲要求，通过系统化的知识讲解与循序渐进的能力训练，帮助学生掌握高阶纯数学的核心内容，为考试和后续数学学习奠定坚实基础。
