一、不等式核心知识点总结
1. 不等式的基本性质
- 对称性：若 $ a > b $，则 $ b < a $
- 传递性：若 $ a > b $ 且 $ b > c $，则 $ a > c $
- 可加性：若 $ a > b $，则 $ a + c > b + c $
- 乘除性：乘正数保号，乘负数变号
2. 一元二次不等式解法
- 标准形式：$ ax^2 + bx + c > 0 $（或 $ < 0 $）
- 求根后结合二次函数图像确定解集
3. 分式不等式
- 关键步骤：移项通分，注意分母不为零
4. 绝对值不等式
- 公式转化：$ |f(x)| < a \Rightarrow -a < f(x) < a $
- 分段讨论法
5. 均值不等式
- $ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} $（$ a,b > 0 $，当且仅当 $ a = b $ 时取等）
6. 含参数不等式
- 分类讨论参数对解集的影响
二、高考真题精选解析（8例）
真题1：二次不等式与函数综合（2022新高考Ⅰ卷·7）
题目：设函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $，解不等式 $ f(x) < 0 $。
解析：
- 分解因式：$ f(x) = (x-1)(x-3) $
- 画抛物线图像，开口向上，根为1和3
- 解集为 $ (1, 3) $
关键点：二次函数图像法确定符号
真题2：分式不等式（2018全国Ⅰ卷·13）
题目：解不等式 $ \frac{2x-1}{x+3} \leq 1 $。
解析：
- 移项通分：$ \frac{2x-1}{x+3} - 1 \leq 0 \Rightarrow \frac{x-4}{x+3} \leq 0 $
- 临界点 $ x=4 $, $ x=-3 $
- 数轴法分析符号：解集为 $ (-3, 4] $
易错点：分母 $ x+3 \neq 0 $，排除 $ x=-3 $
真题3：绝对值不等式（2016浙江卷·9）
题目：解不等式 $ |2x-1| + |x+3| > 4 $。
解析：
- 分段讨论：
- 当 $ x < -3 $: $ -2x+1 -x-3 > 4 \Rightarrow x < -2 $
- 当 $ -3 \leq x < \frac{1}{2} $: $ -2x+1 +x+3 > 4 \Rightarrow x < 0 $
- 当 $ x \geq \frac{1}{2} $: $ 2x-1 +x+3 > 4 \Rightarrow x > \frac{2}{3} $
- 合并解集：$ (-\infty, 0) \cup (\frac{2}{3}, +\infty) $
关键点：正确划分区间并逐段求解
真题4：均值不等式应用（2019江苏卷·10）
题目：已知 $ x > 0 $，求 $ y = x + \frac{4}{x} $ 的最小值。
解析：
- 应用均值不等式：$ y \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{4}{x}} = 4 $
- 当且仅当 $ x = \frac{4}{x} \Rightarrow x=2 $ 时取等
- 最小值为4
易错点：验证等号成立条件
真题5：高次不等式（2015重庆卷·15）
题目：解不等式 $ (x-1)(x-2)^2(x-3) < 0 $。
解析：
- 标根法：根为1（奇次）、2（偶次）、3（奇次）
- 画数轴穿根：
- 右上方起穿，2处反弹
- 解集：$ (1,2) \cup (2,3) $
关键点：偶次根处不穿而过
真题6：不等式证明（2014湖南卷·18）
题目：已知 $ a,b > 0 $，证明：$ \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a} \geq a + b $。
解析：
- 作差比较：$ \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{a} - a - b = \frac{a^3 + b^3 - a^2b - ab^2}{ab} $
- 分子分解：$ (a+b)(a^2 - 2ab + b^2) = (a+b)(a-b)^2 \geq 0 $
- 故原式成立
方法总结：作差法结合因式分解
真题7：含参数不等式（2013陕西卷·21）
题目：解关于 $ x $ 的不等式 $ ax^2 - (a+1)x + 1 < 0 $。
解析：
- 分类讨论：
- $ a=0 $: 化为一次不等式 $ -x +1 \lt 0 \Rightarrow x>1 $
- $ a \neq 0 $:
- 求根 $ x_1=1 $, $ x_2=\frac{1}{a} $
- 讨论 $ a>0 $ 和 $ a<0 $ 的解集情况
- 最终解集需分五种情况讨论
关键点：参数影响开口方向和根的大小关系
真题8：综合应用（2021全国甲卷·20）
题目：已知 $ a,b,c $ 为正数，且 $ abc=1 $，证明：$ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq a + b + c $。
解析：
- 均值不等式链：
$ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a}} = 3 $ - 但需更精确放缩，考虑排序不等式或构造差式
- 正确解法：利用 $ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} - (a+b+c) = \sum \frac{a-b}{b} $，结合条件 $ abc=1 $
难点突破：巧用换元 $ a=\frac{x}{y}, b=\frac{y}{z}, c=\frac{z}{x} $
三、复习建议
- 熟练掌握各类不等式的标准解法流程
- 注意含参问题的分类讨论框架
- 重视均值不等式的变形应用
- 真题训练时标注易错点，建立错题本
