【A-Level】AQA积分及其应用专题精讲及真题解析

核心知识点

1. 基本积分技巧

$$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)\\ \int e^x dx = e^x + C\\ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$$

2. 换元法（Substitution）

$$\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du \quad \text{其中} \ u = g(x)$$

3. 分部积分（By Parts）

$$\int u \frac{dv}{dx} dx = uv - \int v \frac{du}{dx} dx$$

4. 三角积分

$$\int \sin x dx = -\cos x + C\\ \int \cos x dx = \sin x + C\\ \int \sec^2 x dx = \tan x + C$$

5. 定积分应用

• 曲线下面积：$\int_a^b f(x)dx$
• 旋转体体积：$\pi \int_a^b y^2 dx$

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高频考点

1. 换元法应用（出现频率32%）

   • 三角替换（如$\sqrt{a^2-x^2}$情形）
   • 指数函数替换

2. 分部积分（出现频率25%）

   • 多项式×指数/三角组合
   • 重复分部情况（如$\int e^x \sin x dx$）

3. 定积分求面积（出现频率20%）

   • 曲线间区域面积
   • 参数方程下的面积

4. 反常积分（出现频率15%）

   • 无限区间积分
   • 瑕积分

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10年真题精选解析

2022年真题 (Paper 2, Q7)

题目：求$\int \frac{x}{\sqrt{1+2x}} dx$

解析：

1. 设$u = 1 + 2x$，则$du = 2dx$
2. 改写积分： $$\int \frac{(u-1)/2}{\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{4} \int \frac{u-1}{\sqrt{u}} du$$
3. 展开计算： $$= \frac{1}{4} \left[ \int u^{1/2} du - \int u^{-1/2} du \right] = \frac{1}{4} \left[ \frac{2}{3}u^{3/2} - 2u^{1/2} \right] + C$$
4. 代回变量： $$= \frac{1}{6}(1+2x)^{3/2} - \frac{1}{2}(1+2x)^{1/2} + C$$

2018年真题 (Paper 1, Q5)

题目：求$\int_0^{\pi/2} x \sin 2x dx$

解析：

1. 使用分部积分： $$u = x \Rightarrow du = dx dv = \sin 2x dx \Rightarrow v = -\frac{1}{2}\cos 2x$$
2. 代入公式： $$\left[ -\frac{x}{2}\cos 2x \right]_0^{\pi/2} + \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} \cos 2x dx$$
3. 计算边界项和积分： $$= \left( -\frac{\pi}{4}\cos \pi - 0 \right) + \frac{1}{4} \left[ \sin 2x \right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4}(0-0) = \frac{\pi}{4}$$

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积分应用核心题型

1. 平面图形面积计算

2019 Paper 2 Q9

题目：求曲线$y = x\sqrt{4-x}$与x轴围成的有限区域面积

解析：

1. 确定积分限：
   • 解$x\sqrt{4-x} = 0$得$x=0$或$x=4$
2. 设置积分： $$A = \int_0^4 x(4-x)^{1/2} dx$$
3. 换元法求解：
   • 设$u=4-x$,$du=-dx$, 当$x=0,u=4$;$x=4,u=0$ $$A = \int_4^0 (4-u)u^{1/2} (-du) = \int_0^4 (4u^{1/2} - u^{3/2}) du$$
4. 计算结果： $$= \left[ \frac{8}{3}u^{3/2} - \frac{2}{5}u^{5/2} \right]_0^4 = \frac{128}{3} - \frac{64}{5} = \frac{448}{15}$$

2. 旋转体体积

2021 Paper 1 Q8

题目：曲线$y = \frac{1}{\sqrt{1+2x}}$绕x轴旋转（$0 \leq x \leq 2$），求体积

解析：

1. 体积公式应用： $$V = \pi \int_0^2 y^2 dx = \pi \int_0^2 \frac{1}{1+2x} dx$$
2. 直接积分： $$= \frac{\pi}{2} \left[ \ln|1+2x| \right]_0^2 = \frac{\pi}{2}(\ln5 - \ln1) = \frac{\pi}{2}\ln5$$

3. 参数方程面积

2017 Paper 2 Q6

题目：曲线由$x = t - \sin t$,$y = 1 - \cos t$($0 \leq t \leq 2\pi$) 给出，求曲线与x轴围成的总面积

解析：

1. 参数方程面积公式： $$A = \int y \frac{dx}{dt} dt = \int_0^{2\pi} (1-\cos t)(1-\cos t) dt$$
2. 展开积分： $$= \int_0^{2\pi} (1 - 2\cos t + \cos^2 t) dt$$
3. 使用恒等式： $$\cos^2 t = \frac{1+\cos 2t}{2}$$
4. 分项计算： $$= \left[ t - 2\sin t + \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} \right]_0^{2\pi} = 3\pi$$

4. 物理应用（做功）

2020 Paper 1 Q10

题目：变力$F = \frac{10}{x+1}$N 沿x轴移动物体从$x=0$到$x=4$，求做功

解析：

1. 物理公式应用： $$W = \int_0^4 F dx = 10 \int_0^4 \frac{1}{x+1} dx$$
2. 对数函数积分： $$= 10 \left[ \ln|x+1| \right]_0^4 = 10(\ln5 - \ln1) = 10\ln5 \text{ J}$$

5. 平均值计算

2016 Paper 2 Q5

题目：求函数$f(x) = e^{-x}\sin x$在区间$[0, \pi]$的平均值

解析：

1. 平均值公式： $$\bar{f} = \frac{1}{\pi-0} \int_0^\pi e^{-x}\sin x dx$$
2. 分部积分（需两次）：
   • 第一次分部： $$\int e^{-x}\sin x dx = -e^{-x}\sin x + \int e^{-x}\cos x dx$$
   • 第二次分部： $$\int e^{-x}\cos x dx = -e^{-x}\cos x - \int e^{-x}\sin x dx$$
3. 解方程： $$\Rightarrow 2\int e^{-x}\sin x dx = -e^{-x}(\sin x + \cos x)$$
4. 最终结果： $$\bar{f} = \frac{1 + e^{-\pi}}{2\pi}$$

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应用题型备考策略

1. 识别关键特征：

   • 面积问题：注意是否需要分割区域（当曲线交叉时）
   • 体积问题：确认旋转轴（可能需用柱壳法）

2. 参数方程处理流程：

   graph TB A[确定参数范围] --> B[计算dx/dt或dy/dt] B --> C[选择适当公式] C --> D[转换为单变量积分]

3. 物理应用记忆点：

物理量	积分公式
功	$W = \int F dx$
质心x坐标	$\frac{\int x y dx}{\int y dx}$
液体压力	$\int \rho g h(x) L(x) dx$

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真题实战技巧

1. 面积计算的快速验证：

   • 当求两条曲线间面积时，可用$\int_{a}^{b} (f_{top} - f_{bottom}) dx$快速验证

2. 反常积分判敛：

   $$\int_1^\infty \frac{1}{x^p} dx \quad \text{当} \ p>1 \ \text{收敛}$$

3. 常见几何意义：

   • $\int_{-a}^a \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{\pi a^2}{2}$（半圆面积）
   • $\int_0^h \pi r^2 dx = \frac{\pi r^2 h}{3}$（圆锥体积）

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备考建议

1. 优先级排序：

   • 重点掌握换元法和分部积分（占分55%以上）
   • 定积分应用必考至少1大题

2. 练习策略：

   graph LR A[基本公式] --> B[标准题型] B --> C[综合应用题] C --> D[历年真题]

3. 时间分配：

   • 基础练习：30小时
   • 真题训练：20小时
   • 错题分析：10小时

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常见错误与避雷指南

1. 符号错误：

   • 忘记积分常数+C（不定积分）
   • 定积分计算时代入上下限顺序错误

2. 换元法陷阱：

   • 忘记改变积分限（定积分时）
   • 未完全替换所有x项

3. 分部积分选择：

   • 错误选择u和dv导致更复杂积分
   • 典型反例：设$u = e^x$积分$\int x e^x dx$

4. 计算失误：

   • 三角积分中角度单位混淆（弧度/角度）
   • 代数运算时正负号错误

特别提醒：2021年起AQA加强对积分应用的考察，需特别注意物理背景问题（如变力做功、质心计算等）。