【A-Level】AQA微分及其应用专题精讲及真题解析

发布日期: 2025-03-27

文章字数: 926

阅读时长: 4 分

一、核心知识体系

1. 微分基础规则

$\begin{aligned} &\bullet \text{幂函数}: \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \\ &\bullet \text{三角函数}: \begin{cases} \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \\ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \end{cases} \\ &\bullet \text{指数对数}: \begin{cases} \frac{d}{dx}(e^{kx}) = ke^{kx} \\ \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \end{cases} \end{aligned}$

2. 微分法则

法则名称	公式	真题应用频率
链式法则	$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$	92%
乘积法则	$\frac{d}{dx}(uv) = u’v + uv’$	85%
商法则	$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v}) = \frac{u’v-uv’}{v^2}$	78%

3. 高阶微分

二阶导数表示：$\frac{d^2y}{dx^2}$ 或 $f’’(x)$
应用场景：加速度计算、函数凹凸性判断（2021年Q4）

二、微分应用专题

1. 最优化问题

2018年真题案例：

$\begin{aligned} &\text{已知}: V = \pi r^2 h = 500 \Rightarrow h = \frac{500}{\pi r^2} \\ &\text{成本函数}: C = 3\pi r^2 + \frac{1000}{r} \\ &\text{求导}: \frac{dC}{dr} = 6\pi r - \frac{1000}{r^2} \\ &\text{临界点}: r = \sqrt[3]{\frac{500}{3\pi}} \approx 3.74\text{cm} \end{aligned}$

避雷指南：

必须验证二阶导：$\frac{d^2C}{dr^2} = 6\pi + \frac{2000}{r^3} > 0$
单位缺失直接扣分

2. 相关变化率

2021年真题解析：

$\begin{aligned} &\text{已知}: \frac{dr}{dt} = 0.2\text{cm/s}, V = \frac{4}{3}\pi r^3 \\ &\text{解法}: \frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt} \\ &\text{结果}: \left.\frac{dV}{dt}\right|_{r=5} = 20\pi \text{cm}^3/\text{s} \end{aligned}$

关键点：

建立变量间的几何/物理关系
链式法则应用时注意导数相乘顺序

3. 运动学分析

2017年真题精解：

$\begin{aligned} s(t) &= t^3 - 6t^2 + 9t \\ v(t) &= 3t^2 - 12t + 9 \Rightarrow \text{驻点 } t=1,3\text{s} \\ a(t) &= 6t - 12 \Rightarrow \text{方向转变 } t=2\text{s} \end{aligned}$

易错警示：

加速度为0不一定代表静止
方向变化需说明符号改变（负→正或正→负）

4. 几何应用

2020年切线法线题：

$\begin{aligned} y &= x^2\ln x \\ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1} &= 1 \\ \text{法线方程} &= y = -x + 1 \end{aligned}$

典型错误：

对$\ln x$求导错误（正确应为$1/x$）
法线斜率忘记取负倒数

三、十年真题命题规律

高频考点分布

考点	出现次数	难度系数	典型年份
隐函数微分	8	★★★☆	2016,2019
参数方程二阶导	5	★★★★	2017,2022
优化问题+实际应用	7	★★★☆	2015,2018
相关变化率	6	★★☆☆	2020,2021

难度演进趋势

graph LR A[2013-2015基础题型] --> B[2016-2018复合应用] B --> C[2019-2022综合建模] C --> D[2023-新型跨章节整合]

四、终极备考策略

1. 分层训练法

基础层：每日10题幂函数/三角函数求导（限时8分钟）
进阶层：隐函数+参数方程混合练习（2019年Q7模式）
突破层：优化问题完整建模（参照2018年真题标准）

2. 错题管理模板

错误类型	典型案例	修正方案
符号错误	2020年Q2法线方程	建立斜率检查清单
单位遗漏	2018年成本问题	解题最后一步强制单位检查
链式法则漏项	2021年变化率题	使用颜色标记中间变量

3. 考场时间分配

$\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{题型} & \text{建议时间} & \text{分值占比} \\ \hline \text{基础求导} & 5\text{分钟} & 15\% \\ \text{应用大题} & 15\text{分钟} & 30\% \\ \text{综合证明} & 20\text{分钟} & 40\% \\ \text{检查复核} & 5\text{分钟} & 15\% \\ \hline \end{array}$