AP PreCalculus 核心公式速记卡 + 完整模拟卷

（适配2025 College Board考纲，速记卡可直接打印，模拟卷含评分标准）

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一、 核心公式速记卡（按单元分类，标注考点频率）

单元	核心公式	考点说明	重要程度
Unit 1 多项式与有理函数	1. 平均变化率：$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 2. 代数基本定理：n次多项式有n个复根（计重数） 3. 复零点共轭定理：若$a+bi$是零点，则$a-bi$也是 4. 有理函数水平渐近线： - 分子次<分母次：$y=0$ - 分子次=分母次：$y=\frac{\text{分子首项系数}}{\text{分母首项系数}}$ - 分子次>分母次：无水平渐近线（有斜渐近线） 5. 有理零点定理：可能零点$\pm\frac{\text{常数项因子}}{\text{首项系数因子}}$	平均变化率是AP必考；渐近线+零点判定高频出现	★★★★★
Unit 2 指数与对数函数	1. 等比数列通项：$a_n=a_1r^{n-1}$ 2. 指数运算法则：$b^m\cdot b^n=b^{m+n};(b^m)^n=b^{mn};b^{-m}=\frac{1}{b^m}$ 3. 复利公式：$A=P(1+\frac{r}{n})^{nt}$；连续复利$A=Pe^{rt}$ 4. 对数定义：$\log_bx=y\iff b^y=x$ 5. 对数运算法则： $\log_b(xy)=\log_bx+\log_by;\log_b\frac{x}{y}=\log_bx-\log_by;\log_bx^k=k\log_bx$ 6. 换底公式：$\log_bx=\frac{\ln x}{\ln b}=\frac{\log_cx}{\log_cb}$	指数建模（复利/人口）+ 对数方程求解是重点	★★★★★
Unit 3 三角与极坐标函数	1. 单位圆定义：$\sin\theta=y;\cos\theta=x;\tan\theta=\frac{y}{x}(x\neq0)$ 2. 正弦型函数：$y=A\sin(B(x-C))+D$ 振幅$\vert A\vert $，周期$T=\frac{2\pi}{\vert B\vert }$，相位平移$C$，垂直平移$D$ 3. 三角恒等式： $\sin^2x+\cos^2x=1;1+\tan^2x=\sec^2x$ 4. 极坐标与直角坐标转换： $x=r\cos\theta;y=r\sin\theta;r=\sqrt{x^2+y^2}$	正弦型函数参数分析 + 极坐标转换是高频考点	★★★★★
Unit 4 参数函数/向量/矩阵	1. 参数函数变化率：$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}(\frac{dx}{dt}\neq0)$ 2. 隐函数求导：如$x^2+y^2=25\implies2x+2y\frac{dy}{dx}=0$ 3. 向量模长：$\vec{v}=\langle v_1,v_2\rangle\implies\vert \vec{v}\vert =\sqrt{v_1^2+v_2^2}$ 4. 2×2矩阵行列式：$\det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$ 5. 2×2矩阵逆矩阵：$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d&-b \ -c&a\end{pmatrix}(\det A\neq0)$	隐函数求导 + 矩阵运算为必考基础	★★★★☆

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二、 AP PreCalculus 完整模拟卷（2025考纲版）

考试说明

1. 本卷包含选择题（20题，每题1分）和解答题（4题，每题5分），满分40分，考试时长90分钟。
2. 选择题为单选，解答题需写出完整步骤，按步骤给分。

第一部分：选择题（共20题，每题1分）

1. The average rate of change of $f(x)=x^2-3x$ over $[1,4]$ is ( )
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2. A polynomial of degree 3 has zeros at $x=1$ and $x=2i$. The third zero is ( )
   A. $-2i$ B. $2$ C. $-1$ D. $i$
3. The horizontal asymptote of $f(x)=\frac{2x^3-5x}{x^3+4x^2}$ is ( )
   A. $y=0$ B. $y=2$ C. $y=\frac{1}{2}$ D. No horizontal asymptote
4. Which sequence is geometric? ( )
   A. 1,3,5,7… B. 2,4,8,16… C. 1,4,9,16… D. 3,6,9,12…
5. $\log_28-\log_22=$ ( )
   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. Solve $3^{x-1}=27$: $x=$ ( )
   A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. The period of $f(x)=2\cos(3x)$ is ( )
   A. $2\pi$ B. $\pi$ C. $\frac{2\pi}{3}$ D. $\frac{\pi}{3}$
8. Convert polar point $(2,\frac{\pi}{2})$ to rectangular coordinates: ( )
   A. $(0,2)$ B. $(2,0)$ C. $(0,-2)$ D. $(-2,0)$
9. Simplify $\frac{\sin x}{\tan x}=$ ( )
   A. $\cos x$ B. $\sec x$ C. $\csc x$ D. $\sin x$
10. For $x^2+y^2=16$, $\frac{dy}{dx}=$ ( )
    A. $\frac{x}{y}$ B. $-\frac{x}{y}$ C. $\frac{y}{x}$ D. $-\frac{y}{x}$
11. Given $f(x)=2x+1$ and $g(x)=x^2$, $(f\circ g)(2)=$ ( )
    A. 9 B. 10 C. 17 D. 18
12. The inverse function of $f(x)=4x-5$ is ( )
    A. $f^{-1}(x)=\frac{x+5}{4}$ B. $f^{-1}(x)=\frac{x-5}{4}$ C. $f^{-1}(x)=4x+5$ D. $f^{-1}(x)=\frac{1}{4x-5}$
13. A $5000 investment earns 6% annual interest compounded monthly. The formula for the value after $t$ years is ( )
    A. $5000(1.06)^t$ B. $5000(1.005)^{12t}$ C. $5000(1.06)^{12t}$ D. $5000e^{0.06t}$
14. The vertical asymptote of $f(x)=\frac{x-2}{x^2-4}$ is ( )
    A. $x=2$ B. $x=-2$ C. $x=2$ and $x=-2$ D. No vertical asymptote
15. The amplitude of $y=3\sin(2x-\pi)+1$ is ( )
    A. 1 B. 2 C. 3 D. $\pi$
16. Solve $\sin x=0$ for $x\in[0,2\pi)$: ( )
    A. $0,\pi$ B. $0,\frac{\pi}{2},\pi,\frac{3\pi}{2}$ C. $0,\frac{\pi}{2}$ D. $0,\pi,2\pi$
17. Given $\vec{u}=\langle1,2\rangle$ and $\vec{v}=\langle3,4\rangle$, $2\vec{u}+\vec{v}=$ ( )
    A. $\langle5,8\rangle$ B. $\langle4,6\rangle$ C. $\langle2,4\rangle$ D. $\langle6,8\rangle$
18. The determinant of $\begin{pmatrix}2&3\4&5\end{pmatrix}$ is ( )
    A. -2 B. 2 C. 22 D. -22
19. Eliminate the parameter: $x=t-1,y=t^2$, the equation is ( )
    A. $y=(x+1)^2$ B. $y=(x-1)^2$ C. $y=x^2+1$ D. $y=x^2-1$
20. Which conic section is represented by $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$? ( )
    A. Circle B. Ellipse C. Hyperbola D. Parabola

第二部分：解答题（共4题，每题5分）

1. Find all vertical asymptotes and holes of $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-6x+9}$.
2. Solve the equation $\log_5(x+1)+\log_5(x-3)=1$.
3. A sinusoidal function has a maximum value of 10, minimum value of 2, period of $4\pi$, and phase shift left $\frac{\pi}{2}$. Write the equation of the function.
4. Given matrix $A=\begin{pmatrix}1&2\3&4\end{pmatrix}$, find the determinant of $A$ and the inverse matrix $A^{-1}$.

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三、 模拟卷答案与评分标准

选择题答案

1-5: AABBB 6-10: CCABB 11-15: AACBC 16-20: AAACA

解答题评分标准

1. 考点：有理函数的垂直渐近线与空洞

   • 因式分解：$f(x)=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)^2}$ （1分）
   • 空洞：$x=3$（公因式对应点）（2分）
   • 垂直渐近线：无（约分后为$f(x)=\frac{x+3}{x-3}$，分母为0时$x=3$是空洞非渐近线）（2分）
   • 总分5分

2. 考点：对数方程求解

   • 运算法则：$\log_5[(x+1)(x-3)]=1$ （1分）
   • 转指数：$(x+1)(x-3)=5^1=5$ （1分）
   • 解方程：$x^2-2x-3=5\implies x^2-2x-8=0\implies(x-4)(x+2)=0\implies x=4或x=-2$ （1分）
   • 定义域检验：$x+1>0且x-3>0\implies x>3$，故舍去$x=-2$ （1分）
   • 答案：$x=4$ （1分）
   • 总分5分

3. 考点：正弦型函数参数确定

   • 振幅：$A=\frac{10-2}{2}=4$ （1分）
   • 垂直平移：$D=\frac{10+2}{2}=6$ （1分）
   • 周期：$T=4\pi\implies B=\frac{2\pi}{4\pi}=\frac{1}{2}$ （1分）
   • 相位平移：左移$\frac{\pi}{2}\implies C=-\frac{\pi}{2}$ （1分）
   • 方程：$y=4\sin\left[\frac{1}{2}(x+\frac{\pi}{2})\right]+6$ （1分）
   • 总分5分

4. 考点：矩阵行列式与逆矩阵

   • 行列式：$\det A=1\times4-2\times3=4-6=-2$ （2分）
   • 逆矩阵公式：$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}4&-2\ -3&1\end{pmatrix}$ （2分）
   • 代入计算：$A^{-1}=\begin{pmatrix}-2&1\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$ （1分）
   • 总分5分