AP PreCalculus 课程学习计划（16节课）

课时（2h/课）	所属单元	对应考纲章节	教学主题	核心内容	教学目标	时长
第1课	Unit 1: Polynomial and Rational Functions	1.1, 1.2, 1.3	函数的等价表示与线性/二次函数的变化率	1. 函数表示：构建图像、数值、解析、文字的等价表示； 2. 平均变化率：$\boldsymbol{\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$； 3. 线性vs二次变化率：线性函数 $f(x)=mx+b$ 变化率恒定，二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 变化率随区间变化。	1. 实现函数不同表示形式的转换； 2. 熟练计算区间平均变化率； 3. 区分线性与二次函数的变化率特征。	2小时
第2课	Unit 1: Polynomial and Rational Functions	1.4, 1.5	多项式函数的变化率与复零点	1. 多项式变化率：分析次数对平均变化率的影响； 2. 代数基本定理：$n$次多项式有$n$个复根（计重数）； 3. 复零点因式分解：若 $r=a+bi$ 是零点，则 $\overline{r}=a-bi$ 也是零点，多项式可分解为 $\boldsymbol{f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)\dots(x-r_n)}$。	1. 分析多项式变化率的次数相关性； 2. 应用代数基本定理确定根的个数； 3. 对含复零点的多项式因式分解。	2小时
第3课	Unit 1: Polynomial and Rational Functions	1.6, 1.7, 1.8	多项式与有理函数的端点行为及零点	1. 多项式端点行为：由首项 $a_nx^n$ 主导（次数奇偶+首项符号决定趋势）； 2. 有理函数端点行为（完整无错版）： - 分子次数$<$分母次数：水平渐近线 $\boldsymbol{y=0}$； - 分子次数$=$分母次数：水平渐近线 $\boldsymbol{y=\frac{\text{分子首项系数}}{\text{分母首项系数}}}$； - 分子次数$>$分母次数：斜渐近线（多项式长除法求解）； 3. 有理零点定理：可能的零点为 $\boldsymbol{\pm\frac{\text{常数项的因子}}{\text{首项系数的因子}}}$。	1. 快速判断多项式/有理函数的端点趋势； 2. 用有理零点定理求零点并因式分解。	2小时
第4课	Unit 1: Polynomial and Rational Functions	1.9, 1.10, 1.11	有理函数的垂直渐近线、空洞与等价表示	1. 垂直渐近线：分母为0且分子不为0的点 $x=c$，满足 $\boldsymbol{\lim{x\to c^+}f(x)=\pm\infty，\lim{x\to c^-}f(x)=\pm\infty}$； 2. 空洞：分子分母公因式 $(x-c)$ 对应的点（约分后分析函数连续性）； 3. 有理式变形：约分、通分、因式分解实现等价转换。	1. 识别有理函数的垂直渐近线与空洞； 2. 对有理表达式进行代数等价变形。	2小时
第5课	Unit 1: Polynomial and Rational Functions	1.12, 1.13, 1.14	函数变换与多项式/有理函数模型构建	1. 函数变换：平移 $f(x-h)+k$、反射 $-f(x)/f(-x)$、拉伸/压缩 $af(bx)$； 2. 模型选择：根据情境（增长趋势、渐近行为）选多项式/有理模型； 3. 模型构建：用数据拟合函数并验证合理性。	1. 掌握函数变换的代数-图像对应关系； 2. 能选择并构建多项式/有理函数模型。	2小时
第6课	Unit 2: Exponential and Logarithmic Functions	2.1, 2.2, 2.3	数列变化与指数函数基础	1. 数列类型：等差数列 $a_n=a_1+(n-1)d$（恒定差）；等比数列 $a_n=a_1r^{n-1}$（恒定比）； 2. 线性vs指数变化：线性为「恒定绝对增长」，指数为「恒定相对增长」； 3. 指数函数定义：$f(x)=ab^x$（$b>0,b\neq1$），定义域 $\mathbb{R}$，值域 $(0,+\infty)$（$a>0$时）。	1. 区分等差/等比数列、线性/指数变化； 2. 理解指数函数的定义与基本性质。	2小时
第7课	Unit 2: Exponential and Logarithmic Functions	2.4, 2.5	指数函数运算与增长/衰减建模	1. 指数运算法则：$b^m \cdot b^n=b^{m+n}$，$(b^m)^n=b^{mn}$，$b^{-m}=\frac{1}{b^m}$，$(ab)^n=a^nb^n$； 2. 增长/衰减模型： - 复利计息：$\boldsymbol{A=P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}}$； - 连续复利：$\boldsymbol{A=Pe^{rt}}$； - 指数增长/衰减：$N(t)=N_0e^{kt}$（$k>0$增长，$k<0$衰减）。	1. 熟练运用指数法则化简表达式； 2. 构建并应用指数模型解决复利、人口等问题。	2小时
第8课	Unit 2: Exponential and Logarithmic Functions	2.6, 2.7, 2.8	函数模型验证、复合函数与反函数	1. 模型验证：用残差、$R^2$对比线性/指数模型拟合度； 2. 复合函数：$\boldsymbol{(f\circ g)(x)=f(g(x))}$，计算并分析定义域； 3. 反函数：水平直线测试判断存在性，「换$x$解$y$」求反函数解析式。	1. 验证函数模型的合理性； 2. 计算复合函数并确定定义域； 3. 判断反函数存在性并求解。	2小时
第9课	Unit 2: Exponential and Logarithmic Functions	2.9, 2.10, 2.11	对数表达式与对数函数	1. 对数定义：$\boldsymbol{\log_b x=y \iff b^y=x}$（$b>0,b\neq1，x>0$）； 2. 对数运算法则：$\log_b(xy)=\log_b x+\log_b y$，$\log_b\left(\frac{x}{y}\right)=\log_b x-\log_b y$，$\log_b x^k=k\log_b x$； 3. 反函数关系：$y=b^x$ 与 $y=\log_b x$ 关于直线 $y=x$ 对称。	1. 理解对数与指数的互逆关系； 2. 运用对数法则化简表达式； 3. 分析对数函数的图像与性质。	2小时
第10课	Unit 2: Exponential and Logarithmic Functions	2.12, 2.13, 2.14, 2.15	对数函数运算、方程与建模	1. 换底公式（必考）：$\boldsymbol{\log_b x=\frac{\ln x}{\ln b}=\frac{\log_c x}{\log_c b}}$； 2. 方程求解：$b^x=k \implies x=\log_b k$；$\log_b x=k \implies x=b^k$； 3. 对数建模：拟合增长趋缓的实际情境； 4. 半对数图：识别数据的指数增长趋势。	1. 用换底公式计算任意底数的对数； 2. 求解指数/对数方程与不等式； 3. 构建对数模型并解读半对数图。	2小时
第11课	Unit 3: Trigonometric and Polar Functions	3.1, 3.2, 3.3	周期现象与三角函数的单位圆定义	1. 周期函数：$f(x+T)=f(x)$，最小正周期 $T$； 2. 单位圆定义：$\boldsymbol{\sin\theta=y}$，$\boldsymbol{\cos\theta=x}$，$\boldsymbol{\tan\theta=\frac{y}{x}}$（$x\neq0$）； 3. 特殊角三角函数值：$0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ 精准记忆； 4. 诱导公式：$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$，$\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$，$\tan(\pi+\theta)=\tan\theta$。	1. 识别周期函数并确定周期； 2. 用单位圆定义计算三角函数值； 3. 运用诱导公式化简表达式。	2小时
第12课	Unit 3: Trigonometric and Polar Functions	3.4, 3.5, 3.6	正弦/余弦函数图像与正弦型函数变换	1. 基础图像：$y=\sin x$（周期 $2\pi$，值域 $[-1,1]$），$y=\cos x$（周期 $2\pi$，值域 $[-1,1]$）； 2. 正弦型函数（核心必考）：$\boldsymbol{y=A\sin\left(B(x-C)\right)+D}$，其中 $ \vert A \vert $=振幅，$T=\frac{2\pi}{ \vert B \vert }$=周期，$C$=相位平移，$D$=垂直平移； 3. 余弦型同理：$\boldsymbol{y=A\cos\left(B(x-C)\right)+D}$。	1. 绘制正弦/余弦基础图像； 2. 分析正弦型函数的参数意义并绘图； 3. 根据图像确定正弦型函数表达式。	2小时
第13课	Unit 3: Trigonometric and Polar Functions	3.7, 3.8, 3.9, 3.10	三角函数建模、正切函数与三角方程	1. 三角函数建模：用正弦型函数拟合温度、潮汐、振动等周期情境； 2. 正切函数：$y=\tan x$（周期 $\pi$，垂直渐近线 $x=\frac{\pi}{2}+k\pi，k\in\mathbb{Z}$）； 3. 反三角函数：$\arcsin x$（定义域 $[-1,1]$，值域 $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$），$\arccos x$（值域 $\left[0,\pi\right]$）； 4. 三角方程：解 $\sin x=k$，$\cos x=k$，$\tan x=k$ 在 $[0,2\pi)$ 内的所有解。	1. 构建三角函数模型解决周期问题； 2. 分析正切与反三角函数的性质； 3. 求解三角方程与不等式。	2小时
第14课	Unit 3: Trigonometric and Polar Functions	3.11, 3.12, 3.13, 3.14, 3.15	三角恒等式、极坐标与极坐标函数	1. 倒数恒等式：$\sec x=\frac{1}{\cos x}$，$\csc x=\frac{1}{\sin x}$，$\cot x=\frac{1}{\tan x}$； 2. 平方恒等式（必考）：$\boldsymbol{\sin^2x+\cos^2x=1}$，$1+\tan^2x=\sec^2x$； 3. 极坐标与直角坐标转换：$\boldsymbol{x=r\cos\theta}$，$\boldsymbol{y=r\sin\theta}$，$\boldsymbol{r=\sqrt{x^2+y^2}}$； 4. 极坐标图像：圆、玫瑰线、心形线的绘制与识别。	1. 掌握正割、余割、余切的性质； 2. 运用三角恒等式化简表达式； 3. 实现极坐标与直角坐标的双向转换。	2小时
第15课	Unit 4: Functions Involving Parameters, Vectors, and Matrices	4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6	参数函数、隐函数与圆锥曲线	1. 参数函数：$x=f(t)$，$y=g(t)$，消参得到直角坐标方程； 2. 参数变化率（衔接AP微积分）：$\boldsymbol{\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}}$（$\frac{dx}{dt}\neq0$）； 3. 隐函数求导：对 $F(x,y)=0$ 两边同时求导（如 $x^2+y^2=1 \implies 2x+2y\cdot\frac{dy}{dx}=0$）； 4. 圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与图像特征。	1. 理解参数函数定义并完成消参； 2. 计算参数函数的瞬时变化率； 3. 熟练进行隐函数求导运算； 4. 识别并绘制圆锥曲线。	2小时
第16课	Unit 4: Functions Involving Parameters, Vectors, and Matrices	4.7, 4.8, 4.9, 4.10, 4.11, 4.12, 4.13, 4.14	向量、矩阵运算与建模	1. 平面向量运算：$\vec{v}=\langle v_1,v_2\rangle$，模长 $\boldsymbol{\vert \vec{v}\vert =\sqrt{v_1^2+v_2^2}}$，向量加减、数乘运算； 2. 矩阵运算：2×2矩阵的加减、数乘、矩阵乘法； 3. 行列式与逆矩阵：$\boldsymbol{\det\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}=ad-bc}$，逆矩阵 $\boldsymbol{A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\ -c&a\end{pmatrix}}$； 4. 矩阵建模：表示线性变换、解二元一次方程组、模拟实际应用情境。	1. 掌握向量的基本运算规则； 2. 熟练进行矩阵的四则运算； 3. 计算2×2矩阵的行列式与逆矩阵； 4. 用矩阵与向量建模解决实际问题。	2小时