AP Calculus 参数方程与极坐标专题讲义
一、James Stewart教材知识点总结
1.1 参数方程
核心公式：
- 导数关系：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$
- 二阶导数：$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}$
- 弧长公式：$L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\, dt$
关键概念：
- 参数曲线切线斜率计算
- 参数方程描述的运动学分析（速度/加速度矢量）
- 参数曲线围成的面积计算（需特别注意积分变量替换）
1.2 极坐标系
核心公式：
- 直角坐标转换：
$x = r \cos\theta$
$y = r \sin\theta$ - 面积计算：$A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} [r(\theta)]^2 \, d\theta$
- 切线斜率：$\frac{dy}{dx} = \frac{r’(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta}{r’(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta}$
重要曲线：
- 心形线（Cardioid）：$r = a(1 \pm \cos\theta)$
- 玫瑰线（Rose Curve）：$r = a \sin(n\theta)$
- 阿基米德螺线（Archimedean Spiral）：$r = a\theta$
二、近10年真题精选（2013-2023）
2.1 参数方程真题
2016 FRQ Question 3
A particle moves in the xy-plane so that its position at time $t > 0$ is given by the parametric equations
$x(t) = 3t^2 - 4t$
$y(t) = t^3 - 3t$
(a) Find the speed of the particle at $t = 2$.
(b) Determine all times $t$ when the particle is at rest.
2.2 极坐标真题
2019 FRQ Question 4
The polar curve $C$ is given by $r = 1 + 2\cos\theta$ for $0 \leq \theta \leq \pi$.
(a) Find the area enclosed by the inner loop.
(b) Set up, but do not evaluate, an integral for the length of the outer loop.
三、高频考点分析
3.1 参数方程重点
- 运动学应用（83%出现率）
- 曲线特殊点分析（拐点/垂直切线）
- 参数方程与笛卡尔方程互化
3.2 极坐标重点
- 对称性分析（92%考题涉及）
- 特殊曲线面积计算（心形线高频）
- 切线方程的极坐标表达
四、备考策略建议
阶段式复习法：
基础巩固阶段（2周）：
- 每天精读Stewart教材对应章节（第10章参数方程，第11章极坐标）
- 制作公式记忆卡片（重点标注参数二阶导公式）
真题突破阶段（3周）：
- 按年份倒序做真题（2018→2008）
- 建立错题本记录典型错误类型
模拟冲刺阶段（1周）：
- 限时完成近3年真题（模拟真实考场）
- 重点复习常见积分技巧（极坐标面积积分换元）
五、避雷指南
5.1 参数方程易错点
- 忽略参数范围导致积分上下限错误（2017年真题高频错误）
- 二阶导数计算时未正确应用商法则
5.2 极坐标易错点
- 极径为负时的对称性误判（特别注意心形线情形）
- 弧长积分公式错误套用直角坐标系公式
六、推荐练习资源
6.1 必做教辅题
- Barron’s AP Calculus：Chapter 9全部例题
- Princeton Review：极坐标综合练习第4套
6.2 模拟题推荐
【模拟题1】已知参数方程$x = e^t \cos t$, $y = e^t \sin t$
(a) 证明曲线在$t=\frac{\pi}{4}$处的切线斜率为1
(b) 求$0 \leq t \leq \pi$范围内的曲线总长度
（答案需包含精确表达式）
