课程总览：本课程全面覆盖FP1七大模块，旨在培养学生的高等数学思维与解析能力，为后续的FP2及其他进阶数学单元奠定坚实基础。
总课时：24课时/48H
| 课时 | 模块 | 主题 | 主要内容与学习目标 | 核心知识点与公式 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | FP1.1: 代数与图像 | 有理函数与图像（一） | 1. 有理函数的定义（分子分母为多项式）。 2. 绘制形如 $ y = \frac{ax+b}{cx+d} $ 的图像。 3. 理解并求取竖直渐近线 和水平渐近线。 | 渐近线： 竖直渐近线：令分母为0，$ x = -\frac{d}{c} $。 水平渐近线：$ y = \frac{a}{c} $。 |
| 2 | FP1.1: 代数与图像 | 有理函数与图像（二） | 1. 绘制更复杂的有理函数图像，如 $ y = \frac{ax^2+…}{cx^2+…} $。 2. 确定图像的关键点（与坐标轴交点）。 3. 图像草图绘制的综合练习。 | 与轴交点： 与x轴交点：令分子为0。 与y轴交点：令 $ x=0 $。 |
| 3 | FP1.1: 代数与图像 | 绝对值函数与图像 | 1. 绝对值函数 $ y = \vert f(x)\vert $ 和 $ y = f(\vert x\vert) $ 的定义与性质。 2. 通过函数变换（反射）绘制含绝对值的函数图像。 3. 解简单的绝对值方程与不等式。 | 图像变换： $ y = \vert f(x)\vert $：将 $ f(x) $ 在x轴下方的部分反射到上方。 $ y = f(\vert x\vert) $：丢弃 $ x \lt 0 $ 部分，并将 $ x \gt 0 $ 的部分反射到左侧。 |
| 4 | FP1.2: 坐标几何 | 抛物线与矩形双曲线 | 1. 回顾抛物线 $ y^2 = 4ax $ 的标准形式及其性质（焦点、准线）。 2. 研究矩形双曲线 $ xy = c^2 $ 的图像与性质。 | 抛物线：焦点 $ (a, 0) $，准线 $ x = -a $。 矩形双曲线：以坐标轴为渐近线。 |
| 5 | FP1.2: 坐标几何 | 参数方程（一） | 1. 参数方程的概念与意义。 2. 抛物线与矩形双曲线的参数方程表示： - 抛物线: $ x=at^2, y=2at $。 - 矩形双曲线: $ x=ct, y=\frac{c}{t} $。 | 参数方程：利用参数 $ t $ 建立 $ x $ 与 $ y $ 的联系。 |
| 6 | FP1.2: 坐标几何 | 参数方程（二） | 1. 从参数方程消参，化为直角坐标方程。 2. 求参数曲线在一点的切线与法线方程。 | 切线斜率：$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} $。 切线方程：$ y - y_1 = \frac{dy}{dx}(x - x_1) $。 |
| 7 | FP1.3: 复数 | 复数引言与代数形式 | 1. 虚数单位 $ i $ 的定义，$ i^2 = -1 $。 2. 复数的代数形式 $ z = x + iy $。 3. 复数的基本运算（加、减、乘、除）。 | 复数除法：分子分母同时乘以分母的共轭复数。 |
| 8 | FP1.3: 复数 | 共轭复数与方程 | 1. 共轭复数的定义与性质。 2. 解实系数二次方程，并理解其复数根成对出现（共轭根）。 | 共轭性质：若 $ z = x+iy $，则共轭 $ z^{*} = x-iy $。 $ z + z^{*} = 2 \operatorname{Re}(z) $， $ z - z^{*} = 2i \operatorname{Im}(z) $。 |
| 9 | FP1.3: 复数 | 复平面与模-辐角形式 | 1. 阿根图（复平面）。 2. 复数的模 $ \vert z\vert $ 与辐角 $ \arg(z) $。 3. 复数的模-辐角形式：$ z = r(\cos \theta + i\sin \theta) $。 | 模：$ \vert z\vert = \sqrt{x^2 + y^2} $。 辐角：$ \theta = \arg(z) $，满足 $ \tan \theta = \frac{y}{x} $。 |
| 10 | FP1.4: 二次方程的根与系数 | 韦达定理 | 1. 对于二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，根为 $ \alpha, \beta $。 2. 掌握并应用韦达定理：$ \alpha + \beta = -\frac{b}{a} $， $ \alpha\beta = \frac{c}{a} $。 | 韦达定理是连接根与系数的桥梁。 |
| 11 | FP1.4: 二次方程的根与系数 | 对称多项式 | 1. 利用韦达定理求关于根 $ \alpha, \beta $ 的对称表达式的值。 2. 例如：求 $ \alpha^2 + \beta^2 $， $ \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} $， $ \alpha^3 + \beta^3 $ 等。 | 常用恒等式： $ \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta $。 $ \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta) $。 |
| 12 | FP1.4: 二次方程的根与系数 | 构造新二次方程 | 1. 给定 $ \alpha, \beta $，构造以新数（如 $ 2\alpha, 2\beta $ 或 $ \alpha^2, \beta^2 $）为根的一元二次方程。 | 方法：求出新根的和与积，写出方程 $ x^2 - (\text{和})x + (\text{积}) = 0 $。 |
| 13 | FP1.5: 级数 | 求和符号与基本公式 | 1. 求和符号 $ \sum $ 的意义与性质。 2. 掌握并推导以下基本求和公式： - $ \sum{r=1}^{n} r = \frac{1}{2}n(n+1) $ - $ \sum{r=1}^{n} r^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) $ | 公式推导：可通过数学归纳法或组合恒等式证明。 |
| 14 | FP1.5: 级数 | 立方和与级数求和方法 | 1. 掌握立方和公式：$ \sum_{r=1}^{n} r^3 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2 $。 2. 学习使用裂项求和 法求某些特殊级数的和。 | 重要观察：$ \sum r^3 = (\sum r)^2 $。 裂项法：将通项拆为两式之差，如 $ \frac{1}{r(r+1)} = \frac{1}{r} - \frac{1}{r+1} $。 |
| 15 | FP1.5: 级数 | 级数求和综合应用 | 1. 将复杂的求和表达式通过代数变形，应用基本公式求解。 2. 综合练习题讲解。 | 方法：将求和式展开，分别应用 $ \sum r, \sum r^2, \sum r^3 $ 等公式。 |
| 16 | FP1.6: 三角函数 | 正割、余割与余切 | 1. 定义六个三角函数： $ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} $， $ \csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} $， $ \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} $。 2. 理解它们的定义域与值域。 | 恒等式： $ 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta $。 $ 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta $。 |
| 17 | FP1.6: 三角函数 | 复合角公式（一） | 1. 推导并记忆正弦与余弦的复合角公式： - $ \sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B $。 - $ \cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B $。 | 公式是推导倍角公式等的基础。 |
| 18 | FP1.6: 三角函数 | 复合角公式（二）与倍角公式 | 1. 推导并记忆正切的复合角公式：$ \tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B} $。 2. 推导倍角公式：$ \sin 2A = 2\sin A \cos A $， $ \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A $。 | 倍角公式变形： $ \cos 2A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A $。 |
| 19 | FP1.6: 三角函数 | 三角恒等式证明 | 1. 综合运用所学恒等式进行三角表达式的化简与证明。 | 策略：通常从复杂的一边出发，利用恒等式化简至另一边。 |
| 20 | FP1.7: 微积分 | 参数方程微分 | 1. 应用链式法则对参数方程求导：$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} $。 2. 求参数方程表示的曲线的切线/法线。 3. 求解相关变化率问题。 | 链式法则是关键。 |
| 21 | FP1.7: 微积分 | 隐函数微分 | 1. 对隐函数方程两边同时对 $ x $ 求导。 2. 求隐函数曲线的切线/法线方程。 | 方法：记住 $ y $ 是 $ x $ 的函数，遇到 $ y $ 项需使用链式法则。 |
| 22 | FP1.7: 微积分 | 分部积分法 | 1. 介绍分部积分公式：$ \int u \frac{dv}{dx} dx = uv - \int v \frac{du}{dx} dx $。 2. 应用该方法求解积分，特别是被积函数为多项式与指数/三角函数的乘积。 | 公式简记：$ \int u dv = uv - \int v du $。 选u原则：LIATE（对数、反三角、代数、三角、指数）。 |
| 23 | FP1.7: 微积分 | 积分综合应用（一） | 1. 结合分部积分法、三角恒等式等进行积分。 2. 求解涉及 $ e^x $, $ \sin x $, $ \cos x $ 的积分。 | 例如：$ \int e^x \sin x dx $ 需要连续使用两次分部积分。 |
| 24 | 全模块 | 总复习与真题演练 | 1. 串讲FP1所有核心知识点，构建知识网络。 2. 分析历年真题中的典型题型与常见陷阱。 3. 模拟考试与答疑解惑。 | 备考重点：概念清晰、计算准确、步骤规范。 |
💡 教学策略与备考建议
- 概念先行，直观理解：FP1引入了许多新概念（复数、参数方程、sec/csc等）。教学时应注重其几何意义和实际背景，避免让学生陷入纯符号运算的困惑。
- 公式推导与记忆并重：鼓励学生理解重要公式（如级数求和、复合角公式）的推导过程，这有助于长期记忆和在陌生情境下的应用。同时，定期进行公式默写和小测验。
- 强调解题规范：尤其在证明题（三角恒等式、数学归纳法）和微积分题目中，清晰的逻辑和规范的书写步骤是获得高分的关键。（注：虽然您提供的大纲未明确列出数学归纳法，但它在级数证明中非常常见，建议在FP1.5教学中适当补充）。*
- 模块交叉练习：FP1的各模块并非完全独立。例如，微积分（FP1.7）会应用到三角函数（FP1.6）和参数方程（FP1.2）的知识。在课程后期，应多设置跨模块的综合题。
- 真题驱动复习：以历年真题为核心复习资料，帮助学生熟悉题型、难度和命题风格。通过分析错题，进行针对性强化训练。
