【A-Level】CIE S1正态分布总结与真题解析

CIE 真题解析正态分布

A Level

发布日期: 2025-09-24

文章字数: 791

阅读时长: 3 分

一、考点总结

1. 正态分布的定义与性质

概率密度函数（PDF）： $f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}$
参数：
- $\mu$：均值（决定中心位置）
- $\sigma$：标准差（决定分布的宽度）
对称性：关于 $x = \mu$ 对称。
曲线特点：钟形曲线，总面积 = 1。

2. 标准化与查表

标准化公式： $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
使用 标准正态分布表（Z-table） 查概率。

3. 二项分布的正态近似（Normal Approximation to Binomial）

适用条件：

$n$ 较大（通常 $n > 50$）
$p$ 接近 0.5（或 $np > 5$ 且 $nq > 5$）

近似公式：

均值：$\mu = np$
方差：$\sigma^2 = npq$，$\sigma = \sqrt{npq}$

连续性校正（Continuity Correction）：

二项分布 $P(X = a)$	正态近似校正后
$P(X = a)$	$P(a - 0.5 < X < a + 0.5)$
$P(X \leq a)$	$P(X < a + 0.5)$
$P(X < a)$	$P(X < a - 0.5)$
$P(X \geq a)$	$P(X > a - 0.5)$
$P(X > a)$	$P(X > a + 0.5)$

二、真题解析（近5年）

真题1：9709/62/O/N/2021 Q5

题目：
The random variable $X$ follows a normal distribution with mean 20 and standard deviation 3. Find $P(16 < X < 23)$.

解析：
标准化：

$Z_1 = \frac{16 - 20}{3} = -1.33,\quad Z_2 = \frac{23 - 20}{3} = 1$

查表得：

$P(Z < -1.33) = 0.0918,\quad P(Z < 1) = 0.8413$

所以：

$P(16 < X < 23) = 0.8413 - 0.0918 = 0.7495$

真题2：9709/62/M/J/2020 Q3

题目：
$X \sim B(100, 0.4)$. Use a normal approximation to find $P(35 \leq X \leq 45)$.

解析：

$\mu = 100 \times 0.4 = 40$
$\sigma = \sqrt{100 \times 0.4 \times 0.6} = \sqrt{24} \approx 4.90$

连续性校正：

$P(34.5 < X < 45.5)$

标准化：

$Z_1 = \frac{34.5 - 40}{4.90} \approx -1.12,\quad Z_2 = \frac{45.5 - 40}{4.90} \approx 1.12$

查表得：

$P(Z < 1.12) = 0.8686,\quad P(Z < -1.12) = 0.1314$

所以：

$P(35 \leq X \leq 45) \approx 0.8686 - 0.1314 = 0.7372$

真题3：9709/62/O/N/2019 Q6

题目：
The weights of apples are normally distributed with mean 120g and standard deviation 10g. Find the probability that a randomly chosen apple weighs more than 130g.

解析：
标准化：

$Z = \frac{130 - 120}{10} = 1$

查表得：

$P(Z > 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587$