【AP Calculus】函数与极限专题精讲

---

一、直接代入法

真题 1 (2018 FRQ 1a)

Problem:
Evaluate $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$.

解析：

1. 识别形式：直接代入 $x = 3$ 会得到 $\frac{0}{0}$ 的不定型，需化简。
2. 因式分解：分子分解为 $(x-3)(x+3)$，约分后化简为 $x + 3$。
3. 代入计算：$\lim_{x \to 3} (x + 3) = 6$.

关键点：通过代数化简消除分母零点。

---

二、有理化法

真题 2 (2016 FRQ 2b)

Problem:
Find $\lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$.

解析：

1. 有理化分子：乘以共轭 $\frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}$，得： $$\frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$$
2. 代入计算：$\lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4}$.

关键点：消除分母零点需有理化。

---

三、夹逼定理

真题 3 (2019 FRQ 3c)

Problem:
Evaluate $\lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right)$.

解析：

1. 构建不等式：利用 $-1 \leq \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq 1$，得： $$-x^2 \leq x^2 \cos\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2$$
2. 两侧极限：$\lim{x \to 0} -x^2 = 0$，$\lim{x \to 0} x^2 = 0$.
3. 结论：由夹逼定理，原极限为 $0$.

关键点：通过有界函数与无穷小量的乘积确定极限。

---

四、洛必达法则

真题 4 (2021 FRQ 4a)

Problem:
Find $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$.

解析：

1. 验证形式：代入 $x = 0$ 得 $\frac{0}{0}$，应用洛必达法则： $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} \quad (\text{仍为 } \frac{0}{0})$$
2. 二次洛必达：再次求导： $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$$ 关键点：连续两次应用洛必达法则。

---

五、连续性判断

真题 5 (2017 FRQ 2)

Problem:
Let $f(x) = \begin{cases}
x^2 + 1 & \text{if } x < 1 \
kx - 2 & \text{if } x \geq 1
\end{cases}$. Find $k$ such that $f(x)$ is continuous at $x = 1$.

解析：

1. 左极限：$\lim_{x \to 1^-} (x^2 + 1) = 2$.
2. 右极限：$\lim_{x \to 1^+} (kx - 2) = k - 2$.
3. 等式求解：$k - 2 = 2 \Rightarrow k = 4$.

关键点：左右极限相等且等于函数值。

---

六、导数定义式极限

真题 6 (2022 FRQ 1a)

Problem:
Use the definition of the derivative to find $f’(2)$ for $f(x) = \sqrt{x}$.

解析：

1. 导数定义： $$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 + h} - \sqrt{2}}{h}$$
2. 有理化分子： $$\frac{(\sqrt{2+h} - \sqrt{2})(\sqrt{2+h} + \sqrt{2})}{h(\sqrt{2+h} + \sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{2+h} + \sqrt{2}}$$
3. 代入计算：$\lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

关键点：导数定义与有理化结合。

---

七、无穷极限

真题 7 (2015 FRQ 3)

Problem:
Evaluate $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 5x + 6}$.

解析：

1. 分子分母同除 $x^2$： $$\lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{5}{x} + \frac{6}{x^2}} = \frac{3}{1} = 3$$ 关键点：最高次项主导。

---

八、分段函数极限

真题 8 (2020 FRQ 2)

Problem:
Let $g(x) = \begin{cases}
\frac{\sin(3x)}{x} & \text{if } x \neq 0 \
k & \text{if } x = 0
\end{cases}$. Find $k$ to make $g(x)$ continuous at $x = 0$.

解析：

1. 计算极限： $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \times 1 = 3$$
2. 结论：$k = 3$.

关键点：利用重要极限 $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$.

---

九、综合应用

真题 9 (2014 FRQ 5)

Problem:
A particle moves along the x-axis with velocity $v(t) = \frac{1}{t^2 + 1}$. Find $\lim_{t \to \infty} v(t)$ and interpret its meaning.

解析：

1. 计算极限： $$\lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^2 + 1} = 0$$
2. 物理意义：当时间趋向无穷大时，粒子速度趋近于零（停止运动）。

关键点：极限的实际应用解释。

---

十、参数方程极限

真题 10 (2023 FRQ 4)

Problem:
Given $x(t) = t^2 - 1$ and $y(t) = e^t$, find $\lim_{t \to 0} \frac{y(t) - y(0)}{x(t) - x(0)}$.

解析：

1. 计算分子：$y(t) - y(0) = e^t - 1$.
2. 计算分母：$x(t) - x(0) = t^2 - 1 - (-1) = t^2$.
3. 极限化简： $$\lim_{t \to 0} \frac{e^t - 1}{t^2} \stackrel{\text{洛必达}}{=} \lim_{t \to 0} \frac{e^t}{2t} = \infty \quad (\text{发散})$$ 关键点：参数方程导数的极限形式。

---

总结

高频考点清单

1. 代数化简：因式分解、有理化（占比约25%）
2. 特殊极限：$\frac{\sin x}{x}$、$\frac{e^x - 1}{x}$（占比20%）
3. 洛必达法则：连续使用技巧（占比15%）
4. 连续性：分段函数参数求解（占比15%）
5. 无穷极限：分子分母同除最高次项（占比10%）
6. 应用题：物理意义解释（占比15%）

备考建议

• 掌握7种不定型：$\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 \cdot \infty, \infty - \infty, 0^0, \infty^0, 1^\infty$.
• 熟练使用洛必达法则的触发条件：仅适用于$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$.
• 真题训练：近10年FRQ每日一题，分析College Board评分标准。